Chủ đề này có 1 trả lời

[Thong Nhat]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ phân giác $AD,BE,CF$ đồng quy tại $I.AI,BI,CI$ cắt $(O)$ tại $X,Y,Z.K,L,N$ lần lượt là các điểm chia $IX,IY,IZ$ cùng một tỉ số $k.$ Chứng minh rằng các đường thẳng qua $K,L,N$ vuông góc với $EF,FD,DE$ đồng quy trên $OI.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 08-01-2019 - 06:29

[halloffame]

Bổ đề. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ trực tâm $H,$ đường cao $AD,BE,CF.FE$ cắt $AD$ ở $G,ED$ cắt $CH$ ở $J,K$ là tâm $(DFE).$ Khi đó $BK \perp GJ.$

Chứng minh. Gọi $L$ là trung điểm $AC$ và $FD$ cắt $AC$ ở $I.$ Do $BK$ đi qua điểm đối xứng $(O)$ qua $L$ (tính chất tâm $Euler$ ) nên chùm $(BO,BK,BL,BH)=-1.$

Theo tính chất các đường đồng quy thì chùm $(ID,IG,IH,IE)=-1.$ Mà $BO \perp ID,BL \perp IH,BH \perp IE \Rightarrow BK \perp GJ.$

Quay lại bài toán.

Gọi $AI,BI,CI$ cắt $YZ,ZX,XY$ ở $H,J,K;HJ,HK$ cắt $CI,BI$ ở $L,M.$ Qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $\frac{1}{2}$ thì $LM \parallel FE,$ theo bổ đề thì $XG \perp LM$ với $G$ là trung điểm $IO \Rightarrow XG \perp FE.$ Tương tự $YG \perp FD,ZG \perp DE$ nên các đường thẳng qua $X,Y,Z$ vuông góc $FE,FD,DE$ đồng quy trên $OI.$

Qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ ta có đpcm.