Chủ đề này có 3 trả lời

[bangvoip673]

Chứng minh rằng: với mọi x,y,z>0 thì
x^3+y^3+z^3+3xyz $\geqslant$ xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
 

[DOTOANNANG]

$x^{3}+ y^{3}+ z^{3}+ 3xyz- xy\left ( x+ y \right )- yz\left ( y+ z \right )- zx\left ( z+ x \right )=$ $x\left ( x- y \right )\left ( x- z \right )+ y\left ( y- z \right )\left ( y- z \right )+ z\left ( z- x \right )\left ( x- y \right )\geqq 0$

[bất đẳng thức Schur!]

Spoiler

$\sum\limits_{cyc}x\left ( x- y \right )\left ( x- z \right )= \frac{\left ( x- y \right )^{2}xy+ \left ( x- z \right )^{2}xz+ \left ( y- z \right )^{2}\left ( x- y- z \right )^{2}}{y+ z}\geqq 0$

 

[bangvoip673]

 

$x^{3}+ y^{3}+ z^{3}+ 3xyz- xy\left ( x+ y \right )- yz\left ( y+ z \right )- zx\left ( z+ x \right )=$ $x\left ( x- y \right )\left ( x- z \right )+ y\left ( y- z \right )\left ( y- z \right )+ z\left ( z- x \right )\left ( x- y \right )\geqq 0$

[bất đẳng thức Schur!]

Spoiler

$\sum\limits_{cyc}x\left ( x- y \right )\left ( x- z \right )= \frac{\left ( x- y \right )^{2}xy+ \left ( x- z \right )^{2}xz+ \left ( y- z \right )^{2}\left ( x- y- z \right )^{2}}{y+ z}\geqq 0$

 

Bạn giải rõ ra bằng Cauchy, Schwars hay Bunhia được không?

[Hero Crab]

BĐT đã cho tương đương với:

$abc\geqslant  \left(a+b-c\right) \left(a+c-b\right) \left(b+c-a\right)$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $a\geqslant b\geqslant c$

TH1:$a+b-c<0$=> (1) đúng

TH2:$a+b-c\geqslant 0$ áp dụng bđt cauchy ta có:
$\left ( a+b-c \right )\left ( a+c-b \right )\leqslant \left ( \frac{a+b-c+a+c-b}{2} \right )^{2}=a^{2}$

Tương tự ta cũng có: $\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\leqslant b^{2}$ ; $\left ( a+c-b \right )\left ( b+c-a \right )\leqslant c^{2}$

Nhân theo từng vế ta có ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Crab: 14-10-2018 - 13:27