Chủ đề này có 2 trả lời

[LeLyNguyen]

Cho a, b, c là các số dương và abc=1.
Chứng minh: (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<=1

[DOTOANNANG]

Tổng quát IMO $2001$: Cho $a,\,b,\,c,\,t> 0$ thỏa $abc= 1$. Khi đó:

$$\left ( b+ \frac{1}{c}- t \right )\left ( c+ \frac{1}{a}- t \right )\left ( a+ \frac{1}{b}- t \right )\leqq \left ( a+ b+ c \right )\left ( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \right )\left ( 1- t \right )^{2}+ 4- 3\,t$$

[được đăng trên AoPS ngày $29$ tháng $11$ năm $2008$!]

 

[Hero Crab]

Vì abc=1 nên tồn tại x,y,z dương sao cho $a=\frac{x}{y}$ ; $b=\frac{y}{z}$ ; $c=\frac{z}{x}$

BĐT cần cm tương đương với: $\left ( x+z-y \right )\left ( y+x-z \right )\left ( z+y-x \right )\leqslant xyz$

Từ đây ta đặt $\left ( x+z-y \right )=a'$ ; $\left (  y+x-z \right )=b'$ ; $\left ( z+y-x \right )=c'$

BĐT cần cm trở thành: $\left ( a'+b' \right )\left ( b'+c' \right )\left ( c'+a' \right )\geqslant 8a'b'c'$ 

BĐT này dễ dàng cm bằng bđt am-gm ^^ Đây cũng chính là câu bất trong kì thi IMO 2001 ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Crab: 07-10-2018 - 15:09