Chủ đề này có 2 trả lời

[LeLyNguyen]

Cho a, b, c là các số dương và abc=1.
Chứng minh: (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<=1

[DOTOANNANG]

Đặt $a,\,b,\,c= \frac{x}{y},\,\frac{y}{z},\,\frac{z}{x}$ với $x,\,y,\,z> 0$. Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với: 

$xyz-\left ( y+ z- x \right )\left ( z+ x- y \right )\left ( x+ y- z \right )\geqq 0$

[khá quen thuộc!]

(Không mất tính tổng quát, giả sử $x= \min\left \{ x,\,y,\,z \right \}$. Khi đó, thay $y- x,\,z- x= p,\,q\geqq 0$, ta được:

$xyz-\left ( y+ z- x \right )\left ( z+ x- y \right )\left ( x+ y- z \right )= \left ( p^{2}- pq+ q^{2} \right )x+ \left ( p^{3}+ q^{3}- p^{2}q- q^{2}p \right )\geqq 0$

hoặc:)

Từ $abc= 1$, ta giả sử: $a\geqq 1\geqq b$. Khi đó:

$$1- \sum\limits_{cyc} \left ( a- 1+ \frac{1}{b} \right )= \left ( c+ \frac{1}{c}- 2 \right )\left ( a+ \frac{1}{b}- 1 \right )+ \frac{\left ( a- 1 \right )\left ( 1- b \right )}{a}\geqq 0$$

[IMO 2001!]

 

 

[Hero Crab]

Bạn này đăng 1 bài mà 2 topic lận à