Cho $G$ là một nhóm với các nhóm con $H$ và $K$. Nếu với mỗi $g \in G$ và $k \in K$ ta biết được rằng $g^{-1}kg \in K,$ chứng minh rằng $HK$ là một nhóm con của nhóm $G$, biết $HK = \{hk | h \in H, k \in K\}$ (lưu ý là thứ tự quan trọng).

Chứng minh rằng $HK$ là một nhóm con của nhóm $G$, biết $HK = \{hk | h \in H, k \in K\}$
#1
Đã gửi 08-10-2018 - 09:56
#2
Đã gửi 23-09-2019 - 22:20
Sửa lại để thế này
Cho $G$ là một nhóm với các nhóm con $H$ và $K$. Nếu với mỗi $g \in G$ và $k \in K$ ta biết được rằng $g^{-1}hg \in H,$ chứng minh rằng $HK$ là một nhóm con của nhóm $G$, biết $HK = \{hk | h \in H, k \in K\}$ (lưu ý là thứ tự quan trọng).
Giải:
Với $h_{1},h_{2}\in H$ và $k_{1},k_{2}\in K$
Ta có $(h_{1}.k_{1}).(h_{2}.k_{2})=h_{1}.k_{1}.h_{2}.k_{2}=h_{1}.(k_{1}.h_{2}.k_{1}^{-1}).(k_{1}.k_{2})$
Theo tính chất của nhóm con và nhóm con chuẩn tắc ta chứng minh được $(h_{1}.k_{1}).(h_{2}.k_{2})\in HK$
Dễ thấy $hk$ có phần tử nghịch đảo là $k^{-1}.h^{-1}=(k^{-1}.h^{-1}.k).k^{-1} \in HK$
Suy ra $HK$ là là nhóm con của $G$.
PS: Mình đang cần tài liệu liên quan đến "dàn", bạn nào có thể cho mình xin or xin key word tiếng anh để google cũng đc.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh