Chủ đề này có 1 trả lời

[quangngokhanh]

Cho $G$ là một nhóm với các nhóm con $H$ và $K$. Nếu với mỗi $g \in G$ và $k \in K$ ta biết được rằng $g^{-1}kg \in K,$ chứng minh rằng $HK$ là một nhóm con của nhóm $G$, biết $HK = \{hk | h \in H, k \in K\}$ (lưu ý là thứ tự quan trọng).

[viet 1846]

Sửa lại để thế này

 

Cho $G$ là một nhóm với các nhóm con $H$ và $K$. Nếu với mỗi $g \in G$ và $k \in K$ ta biết được rằng $g^{-1}hg \in H,$ chứng minh rằng $HK$ là một nhóm con của nhóm $G$, biết $HK = \{hk | h \in H, k \in K\}$ (lưu ý là thứ tự quan trọng).

 

Giải:

 

Với $h_{1},h_{2}\in H$ và $k_{1},k_{2}\in K$

 

Ta có $(h_{1}.k_{1}).(h_{2}.k_{2})=h_{1}.k_{1}.h_{2}.k_{2}=h_{1}.(k_{1}.h_{2}.k_{1}^{-1}).(k_{1}.k_{2})$

 

Theo tính chất của nhóm con và nhóm con chuẩn tắc ta chứng minh được $(h_{1}.k_{1}).(h_{2}.k_{2})\in HK$

 

Dễ thấy $hk$ có phần tử nghịch đảo là $k^{-1}.h^{-1}=(k^{-1}.h^{-1}.k).k^{-1} \in HK$

 

Suy ra $HK$ là là nhóm con của $G$.

 

 

PS: Mình đang cần tài liệu liên quan đến "dàn", bạn nào có thể cho mình xin or xin key word tiếng anh để google cũng đc.