Chủ đề này có 1 trả lời

[quangngokhanh]

Cho $G$ là một nhóm với các nhóm con $H$ và $K$. Nếu với mỗi $g \in G$ và $k \in K$ ta biết được rằng $g^{-1}kg \in K,$ chứng minh rằng $HK$ là một nhóm con của nhóm $G$, biết $HK = \{hk | h \in H, k \in K\}$ (lưu ý là thứ tự quan trọng).

[Minhcarnation]

Let $x, y \in HK$ We have: $x = h_1k_1 , y = h_2k_2$

Consider: $xy = (h_1k_1)(h_2k_2)=h_1k_1h_2k_2=h_1h_2(h_2^{-1}k_1h_2)k_2$

Since $H \leq G$ so $h_2 \in G  \Rightarrow h_2^{-1}k_1h_2 \in K$

So, $xy \in HK$

Now, consider $x^{-1}=(h_1k_1)^{-1}=k_1^{-1}h_1^{-1}=h_1^{-1}h_1k_1^{-1}h_1^{-1} \in HK$ since $h_1 \in H , H \leq G\Rightarrow h_1^{-1}\in H$

Therefore, HK is subgroup of G base on subgroup criterion.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcarnation: 27-01-2023 - 07:38