Tìm n thuộc Z+ để $n^{2}+3^{n}$ là số chính phương
Tìm n thuộc Z+ để $n^{2}+3^{n}$ là số chính phương
#2
Đã gửi 09-10-2018 - 10:07
Tìm n thuộc Z+ để $n^{2}+3^{n}$ là số chính phương
Giả sử: $n^2+3^n=m^2(m\in \mathbb{Z^{+}})(1)$.
Khi đó $(1)\iff (m-n)(m+n)=3^{n}(2)$.
Do $m,n\in \mathbb{Z^{+}}$ nên từ $(1)\implies 0<m-n<m+n$.
Mặt khác do $(2)$ nên $m-n;m+n$ có dạng:
$\left\{\begin{array}{I} m-n=3^p(3)\\m+n=3^q(4)\end{array}\right.$ trong đó $0\le p<q;p,q\in \mathbb{N}$.
Và cũng từ $(2)\implies p+q=n$.
TH1: $p=0\implies q=n\implies m-n=1;m+n=3^n\implies 2n+1=3^n$.
Ta có nhận xét rằng: $3^n>2n+1\forall n>1$ (Chứng minh bằng quy nạp).
Do đó phương trình: $2n+1=3^n\iff n=1$.
TH2: $p>0$. Khi đó từ $(3),(4)\implies m,n$ đều chia hết cho $3$.
Không mất tính tổng quát, giả sử: $(m;n)=(3m_1;3n_1)$.
Khi đó phương trình $(1)$ tương đương: $9n_1^2+9n_1=9m_1^2\iff n_1^2+n_1=m_1^2\iff (2n_1+1)^2=(2m_1)^2+1(5)$.
Do $m>n\implies m_1>n_1\implies 2m_1>2n_1\implies 2m_1\ge 2n_1+1\implies (2m_1)^2+1\ge (2n_1+1)^2+1>(2n_1+1)^2\implies VP(5)>VT(5)$ nên phương trình $(5)$ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $n=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 10-10-2018 - 04:55
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh