Chủ đề này có 1 trả lời

[Drago]

Tìm tất cả hàm $f: R \rightarrow R$ thỏa mãn $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy, \forall x,y \in R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 11-10-2018 - 21:40

[Sugar]

Cho $P(x,y)$ đại diện cho $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy.$

Ta nhận thấy $f(x)=0$ không là nghiệm nên tồn tại $t\in\mathbb{R}$ sao cho $f(t)\neq0$.

Với $P(x+y,0)$ thì $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x+y)f(0)=(f(0)+1)f(x+y)$ nên $(f(0)+1)f(x+y)=f(x+y)+f(x)f(y)-xy$ hay $f(0)f(x+y)=f(x)f(y)-xy (*)$.

Trường hợp 1: $f(0)=0$

Thay $y$ bởi $t$ vào $(*)$, ta có $f(x)=\frac{t}{f(t)}x$.

Đặt $k=\frac{t}{f(t)}$ (rõ ràng $k\neq0$). Khi đó, thay vào phương trình gốc, ta có: $k(k-1)(x+y-xy)=0$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$.

Vì vậy, $k=1$ hay $f(x)=x)$.

Trường hợp 2: $f(0)\neq0$

Thay $x$ bởi $f(0)$, $y$ bởi $-f(0)$ vào $(*)$ thì $f(f(0))f(-f(0))=0$ nên tồn tại số thực $a\in\{f(0)),-f(0)\}$ sao cho $f(a)=0$.

Thay $x$ bởi $x-a$, $y$ bởi $a$ vào $(*)$ ta có $f(0)f(x)=-(x-a)a$ nên $f(x)=const$ và thay vào phương trình gốc, ta có điều vô lý.

Sau khi thử lại, ta có $f(x)=x$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.