Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy, \forall x,y \in R$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\star \int_{VTLong}^{QT-T1619}\star$

Đã gửi 11-10-2018 - 21:40

Tìm tất cả hàm $f: R \rightarrow R$ thỏa mãn $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy, \forall x,y \in R$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 11-10-2018 - 21:40

$\mathbb{VTL}$


#2 Sugar

Sugar

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

Đã gửi 03-07-2019 - 22:39

Cho $P(x,y)$ đại diện cho $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy.$

Ta nhận thấy $f(x)=0$ không là nghiệm nên tồn tại $t\in\mathbb{R}$ sao cho $f(t)\neq0$.

Với $P(x+y,0)$ thì $f(f(x+y))=f(x+y)+f(x+y)f(0)=(f(0)+1)f(x+y)$ nên $(f(0)+1)f(x+y)=f(x+y)+f(x)f(y)-xy$ hay $f(0)f(x+y)=f(x)f(y)-xy (*)$.

Trường hợp 1: $f(0)=0$

Thay $y$ bởi $t$ vào $(*)$, ta có $f(x)=\frac{t}{f(t)}x$.

Đặt $k=\frac{t}{f(t)}$ (rõ ràng $k\neq0$). Khi đó, thay vào phương trình gốc, ta có: $k(k-1)(x+y-xy)=0$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$.

Vì vậy, $k=1$ hay $f(x)=x)$.

Trường hợp 2: $f(0)\neq0$

Thay $x$ bởi $f(0)$, $y$ bởi $-f(0)$ vào $(*)$ thì $f(f(0))f(-f(0))=0$ nên tồn tại số thực $a\in\{f(0)),-f(0)\}$ sao cho $f(a)=0$.

Thay $x$ bởi $x-a$, $y$ bởi $a$ vào $(*)$ ta có $f(0)f(x)=-(x-a)a$ nên $f(x)=const$ và thay vào phương trình gốc, ta có điều vô lý.

Sau khi thử lại, ta có $f(x)=x$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh