Chủ đề này có 1 trả lời

[bangbang1412]

Cho $G$ là một nhóm hữu hạn sinh. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $n$, thì số nhóm con có chỉ số $n$ trong $G$ là hữu hạn.

 

thực chất ta còn có công thức sau, gọi $a_n$ là số nhóm con chỉ số $n$. Khi đó:

 

$$\sum_{n \geq 0} \frac{|Hom(G,S_{n})|}{n!} z^{n} = exp(\sum_{n \geq 1}\frac{a_{n}}{n!} z^{n})$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-10-2018 - 16:37

[dogsteven]

Xét $H$ là một nhóm con có chỉ số $n$ củ $G$, khi đó xét tác động bên trái của $G$ trên $G/H$ bởi phép nhân bên trái.

Tác động này cho ta một đồng cấu nhóm $\phi_H : G \to S_n$, trong đó $1$ ứng với $H$. Khi đó $\text{Stab}(1) = \{g \in G | gH = H\} = H$

Với hai nhóm con $H, K$ khác nhau và chỉ số $n$ trên $G$, chọn $g \in H - K$, ta có $\phi_H(g)(1) = 1 \ne phi_K(g)(1)$ nên $\phi_H \ne \phi_K$

Như vậy ta có một đơn ánh từ tập các nhóm con chỉ số $n$ của $G$ đến tập các đồng cấu $G \to S_n$

Do $G$ là hữu hạn sinh nên có $S$ là tập con hữu hạn của $G$ mà $G = <S>$.

Xét ánh xạ biến mỗi đồng cấu $\phi: G \to S_n$ thành $\phi|_S : S \to S_n$

Nếu $\phi_1|_S = \phi_2|_S$ thì mỗi $g$ thuộc $G$, ta viết $g = s_1^{a_1}.s_2^{a_2}.....s_n^{a_n}$ với $s_i\in S$, khi đó:

$$\phi_1(g) = \prod \phi_1(s_i)^{a_i} = \prod \phi_1|_S(s_i)^{a_i} = \prod \phi_2|_S(s_i)^{a_i} = \prod \phi_2(s_i)^{a_i} = \phi_2(g)$$

Do đó $\phi_1 = \phi_2$ nên ánh xạ nói trên là đơn ánh.

Tóm tại ta có một đơn ánh từ tập các nhóm con chỉ số $n$ trên $G$ đến tập các ánh xạ $S\to S_n$

Số các ánh xạ $S\to S_n$ là $n!^{|S|}$ là hữu hạn nên số các nhóm con chỉ số $n$ trên $G$ là hữu hạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 07-05-2020 - 22:12