Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Số nhóm con có chỉ số hữu hạn

nhóm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1559 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 12-10-2018 - 16:37

Cho $G$ là một nhóm hữu hạn sinh. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $n$, thì số nhóm con có chỉ số $n$ trong $G$ là hữu hạn.

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-10-2018 - 16:37

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 07-05-2020 - 20:57

Xét $H$ là một nhóm con có chỉ số $n$ củ $G$, khi đó xét tác động bên trái của $G$ trên $G/H$ bởi phép nhân bên trái.

Tác động này cho ta một đồng cấu nhóm $\phi_H : G \to S_n$, trong đó $1$ ứng với $H$. Khi đó $\text{Stab}(1) = \{g \in G | gH = H\} = H$

Với hai nhóm con $H, K$ khác nhau và chỉ số $n$ trên $G$, chọn $g \in H - K$, ta có $\phi_H(g)(1) = 1 \ne phi_K(g)(1)$ nên $\phi_H \ne \phi_K$

Như vậy ta có một đơn ánh từ tập các nhóm con chỉ số $n$ của $G$ đến tập các đồng cấu $G \to S_n$

Do $G$ là hữu hạn sinh nên có $S$ là tập con hữu hạn của $G$ mà $G = <S>$.

Xét ánh xạ biến mỗi đồng cấu $\phi: G \to S_n$ thành $\phi|_S : S \to S_n$

Nếu $\phi_1|_S = \phi_2|_S$ thì mỗi $g$ thuộc $G$, ta viết $g = s_1^{a_1}.s_2^{a_2}.....s_n^{a_n}$ với $s_i\in S$, khi đó:

$$\phi_1(g) = \prod \phi_1(s_i)^{a_i} = \prod \phi_1|_S(s_i)^{a_i} = \prod \phi_2|_S(s_i)^{a_i} = \prod \phi_2(s_i)^{a_i} = \phi_2(g)$$

Do đó $\phi_1 = \phi_2$ nên ánh xạ nói trên là đơn ánh.

Tóm tại ta có một đơn ánh từ tập các nhóm con chỉ số $n$ trên $G$ đến tập các ánh xạ $S\to S_n$

Số các ánh xạ $S\to S_n$ là $n!^{|S|}$ là hữu hạn nên số các nhóm con chỉ số $n$ trên $G$ là hữu hạn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 07-05-2020 - 22:12

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nhóm

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh