Cho $G$ là một nhóm hữu hạn sinh. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $n$, thì số nhóm con có chỉ số $n$ trong $G$ là hữu hạn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-10-2018 - 16:37
Đã gửi 12-10-2018 - 16:37
Cho $G$ là một nhóm hữu hạn sinh. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $n$, thì số nhóm con có chỉ số $n$ trong $G$ là hữu hạn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-10-2018 - 16:37
Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.
Đã gửi 07-05-2020 - 20:57
Xét $H$ là một nhóm con có chỉ số $n$ củ $G$, khi đó xét tác động bên trái của $G$ trên $G/H$ bởi phép nhân bên trái.
Tác động này cho ta một đồng cấu nhóm $\phi_H : G \to S_n$, trong đó $1$ ứng với $H$. Khi đó $\text{Stab}(1) = \{g \in G | gH = H\} = H$
Với hai nhóm con $H, K$ khác nhau và chỉ số $n$ trên $G$, chọn $g \in H - K$, ta có $\phi_H(g)(1) = 1 \ne phi_K(g)(1)$ nên $\phi_H \ne \phi_K$
Như vậy ta có một đơn ánh từ tập các nhóm con chỉ số $n$ của $G$ đến tập các đồng cấu $G \to S_n$
Do $G$ là hữu hạn sinh nên có $S$ là tập con hữu hạn của $G$ mà $G = <S>$.
Xét ánh xạ biến mỗi đồng cấu $\phi: G \to S_n$ thành $\phi|_S : S \to S_n$
Nếu $\phi_1|_S = \phi_2|_S$ thì mỗi $g$ thuộc $G$, ta viết $g = s_1^{a_1}.s_2^{a_2}.....s_n^{a_n}$ với $s_i\in S$, khi đó:
$$\phi_1(g) = \prod \phi_1(s_i)^{a_i} = \prod \phi_1|_S(s_i)^{a_i} = \prod \phi_2|_S(s_i)^{a_i} = \prod \phi_2(s_i)^{a_i} = \phi_2(g)$$
Do đó $\phi_1 = \phi_2$ nên ánh xạ nói trên là đơn ánh.
Tóm tại ta có một đơn ánh từ tập các nhóm con chỉ số $n$ trên $G$ đến tập các ánh xạ $S\to S_n$
Số các ánh xạ $S\to S_n$ là $n!^{|S|}$ là hữu hạn nên số các nhóm con chỉ số $n$ trên $G$ là hữu hạn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 07-05-2020 - 22:12
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Toán Đại cương →
Đại số đại cương →
Chứng minh $D_{4}$ và $Q_{8}$ không đẳng cấu với nhauBắt đầu bởi bangbang1412, 15-04-2016 ![]() |
|
![]() |
||
Thảo luận chung →
Kinh nghiệm học toán →
[2012-2013] Lập Nhóm Học Toán Lớp 11Bắt đầu bởi be_optimistic, 09-03-2012 ![]() |
|
![]() |
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh