Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh quỹ tích của điểm $\text{I}$ là một đường thẳng!

* * * * * 1 Bình chọn quỹ tích

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Cho hai đường thẳng song song với nhau đối xứng qua điểm $\text{I}$. Chứng minh quỹ tích của điểm $\text{I}$ là một đường thẳng!



#2
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết

Minh chỉnh lại đề một chút:

Bài toán. Cho trước hai đường thẳng $d_1,d_2$ không trùng nhau và song song với nhau.

Chứng minh quỹ tích các điểm $I$ sao cho $d_1$ đối xứng $d_2$ qua $I$ là một đường thẳng.

Chứng minh. 

_Gọi $I^*$ là một điểm bất kì thuộc quỹ tích các điểm $I$ nói trên, $B,B_1$ là hình chiếu của $I^*$ lên $d_1,d_2.$

Hiển nhiên $B$ đối xứng $B_1$ qua $I^*,$ do đó $I^*B=I^*B_1,$ tức là khoảng cách từ $I^*$ tới $d_1$ bằng khoảng cách từ $I^*$ tới $d_2.$

Gọi $d_3$ là đường thẳng chia đôi phần mặt phẳng nằm giữa $d_1,d_2$ thì khoảng cách từ $d_3$ tới $d_1,d_2$ là bằng nhau.

Tức là $I^* \in d_3.$ Ta chứng minh được mọi điểm thuộc quỹ tích các điểm $I$ nói trên đều nằm trên $d_3.$

_Gọi $I^*$ là một điểm bất kì trên $d_3;B,B_1$ là hình chiếu của $I^*$ lên $d_1,d_2;A$ là điểm bất kì trên $d_1.$

Do $d_3$ cách đều $d_1,d_2$ nên $I^*B=I^*B_1.$ Gọi $A_1$ đối xứng với $A$ qua $I^*$ thì $\Delta IAB= \Delta IA_1B_1,$

do đó $A_1B_1 \perp IB_1,$ tức là $A_1 \in d_2.$ Do đó $d_1$ đối xứng $d_2$ qua $I^*.$

Ta chứng minh được với mọi $I^* \in d_3$ thì $d_1,d_2$ đối xứng nhau qua $I^*.$

Vậy quỹ tích các điểm $I$ chính là $d_3,$ là một đường thẳng.


Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: quỹ tích

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh