Chủ đề này có 3 trả lời

[luuvanthai]

CMR: $(1+\frac{a+b+c}{3})^{3}\geq (1+a)(1+b)(1+c)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^{3}\geq 8\sqrt{abc}$ với a,b,c$\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 13-10-2018 - 22:57

[Hero Crab]

Điều kiện của a,b,c là gì thế bạn ?

[luuvanthai]

Điều kiện của a,b,c là gì thế bạn 

a,b,c>=0 nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 13-10-2018 - 22:56

[Hero Crab]

Áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương a+1,b+1,c+1 ta có 

$\left ( \frac{a+1+b+1+c+1}{3} \right )^{3}\geqslant \left ( \frac{3\sqrt[3]{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}}{3} \right )^{3}=\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )$

Ta có: $\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )\geqslant \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$

$\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^{2}}$

Áp dụng bđt cauchy cho 3 số a,b,c dương ta có: $a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}$ ; $ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{\left(abc\right)^{2}}$

Áp dụng bđt cauchy cho 2 số dương 1; $\sqrt[3]{abc}$ ta có: $\left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}\geqslant \left ( 2\sqrt[3]{\sqrt{abc}} \right )^{3}=8\sqrt{abc}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Crab: 14-10-2018 - 12:07