Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Đề thi IMO 1982 và lời giải (giải thích rõ hơn)

đề thi imo 198

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 Vietchau19

Vietchau19

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 13-10-2018 - 18:26

Đây là đề bài và bải giải đề thi toán quốc tế IMO năm 1982, được cho là rất khó trong các đề của kì thi toán năm đó, chỉ có rất ít học sinh làm được

 

Đề  thi:   Cho S là hình vuông cạnh 100 và L là đường gấp khúc không tự cắt tạo thành các đoạn thẳng : A0,A1,...An-1, An; A0  ≠ An. Giả sử mối điểm P trên biên của S đều có 1 điểm thuộc L cách P không quá 1/2 . Hãy chứng minh tồn tại 2  điểm XY thuộc L sao cho  khoảng cách  giữa XY không vượt quá 1 và độ dài phần gấp khúc L nằm giữa XY không nhỏ hơn 198. (không có bải giải đáp của IMO-1982)

 

Bải  gải: 

Khoảng cách giữa XY là 1; Chọn lấy : P1X=1/2; P2Y=1/2;

Theo đầu bài hiển nhiên phải có P1, P2 trùng nhau (P) để XP=1

Vậy tam giác XPY phải là tam giác bẹt, XPY thẳng hàng trên biên của S (xem hình 1)

 XY trên biên của S (xem hình 2)

 

Vì đường gấp khúc dọc theo biên và đường gấp khúc XNK không được cắt nhau.

Không làm mất tính tổng quát, giả sử chúng cách nhau 1/2 (lấy NN’ = ½)  do đó PN = 99

(xem hình 4 và 3)

 

Hinh 4

 

Suy ra : bất kỳ Pi trên biên giữa XY thoả mãn có 1 điểm trên L để từ điểm đó đến Pi không qúa ½ (theo giả thiết)

K trên PN vì tam giác PXN vuông

XK =  99

XN  >  99

Xét tam giác XMK:
Đường gấp khúc XMK  > XK =99 vì góc M  > 900

 

Đường gấp khúc XMKM’Y  > 198  (phần đối xứng qua PN)

K trên PN, XK = 99   YM’K > YK  vậy XMKM’Y >  2 x 99=198

  • Đường gấp khúc này  > 198 => không tồn tại đường gấp khúc  < 198 giữa XY

 

Như đã nói N không trùng N’  vì khi đó 2 đường gấp khúc tự  cắt nhau (trái với giả thiết). Giả sử không mất tính tổng quát N cách N’  bằng ½

Kết luận: độ dài phần gấp khúc L nằm giữa XY không nhỏ hơn 198 (XN > 99, đường gấp khúc XNY  > 198)

Vậy bài toán đã chứng minh xong,

Ghi chú :

Chi tiết vẽ to ở hình 5 (trong hình 4 ở dưới)

X Y trên biên của S

XK = 99

Pi nằm trên  XP         PiQi  ≤ 1/2

Qi nằm trên  XQ

Vậy  đường  gấp khúc  XKM thoả  mãn giả thiết, suy ra M chạy trên diện tích tam giác XKP  nên suy ra  đường   gấp khúc  XKY  ≥  198.

Ở giả thiết N cách N’  bằng ½ , nếu nó ở gần sát N’ thì kết quả  bài toán không  thay đổi ; vì đường gấp khúc XKY  ≥ 198 bao gồm cả khi gần tới N’.

Đây là trường hợp có nhiều  giới hạn dưới, ta chọn  giới hạn  dưới lớn nhất;( K chạy từ 0 à 99 )

Ở trên cho Pi ở bên trái và bên phải của P, với P ở giữa  X và Y  ( XP =YP =1/2) và theo giả thiết là trên L có một Qi để PiQ≤ ½ là hoàn toàn phù hợp  với giả thiết, vì khi đó  Qi vân ở trên L mặc dầu  chúng ở phía  đầu này hay đầu kia của L.

GHI CHÚ 2:

PiQi =1/2

Pi2Qi2 ½

Pi1Qi1 ½

 

Chứng minh : mỗi Pi trên XP có một Qi  trên XQ sao cho khoảng cách PiQi ≤  ½

(xem hình 6)

Tam giác XPN là tam giác có 3 góc nhọn => bài toán thoả mãn điều kiện đã nói ở trên.

 

 

 

 

 

 

Tôi không biết đáp án gốc của IMO 1982 thế nào nhưng đây là phần lời giải với kiến thức vửa  đủ và đơn giản của tôi xin chia sẻ cùng bạn đọc.

 

 

Hình gửi kèm

  • Hinh1, hinh 2.jpg
  • hinh 3, hinh 4.jpg
  • hinh 5.jpg
  • hinh 6.jpg





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh