Chủ đề này có 2 trả lời

[hoaadc08]

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 11 chữ số , chia hết cho 3 lập thành từ các chữ số 3,5,7,9 ?

[dottoantap]

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 11 chữ số , chia hết cho 3 lập thành từ các chữ số 3,5,7,9 ?

Đặt:

$A_{n}$ là tập các số n csố (từ các csố đã cho) chia hết cho 3

$B_{n}$ là tập các số n csố (từ các csố đã cho) không chia hết cho 3

Một số thuộc $A_{n}$ có $2$ cách thêm csố cuối (3, 9) để được 2 số thuộc $A_{n+1}$; có $2$ cách thêm csố cuối (5, 7) để được 2 số thuộc $B_{n+1}$

Một số thuộc $B_{n}$ có $1$ cách thêm csố cuối (5 hoặc 7)) để được 1 số thuộc $A_{n+1}$; có $3$ cách thêm csố cuối (3, 9, (5 hoặc 7) để được 3 số thuộc $B_{n+1}$

Do đó:

$\left |A_{n+1} \right |=2\left |A_{n} \right |+\left |B_{n} \right |$

$\left |B_{n+1} \right |=2\left |A_{n} \right |+3\left |B_{n} \right |$  

$\Rightarrow \left |B_{n+1} \right |=2\left |A_{n} \right |+3\left ( \left |A_{n+1} \right |-2\left |A_{n} \right | \right )=3\left |A_{n+1} \right |-4\left |A_{n} \right |$

$\Rightarrow \left |A_{n+1} \right |=2\left |A_{n} \right |+3\left |A_{n} \right |-4\left |A_{n-1} \right |=5\left |A_{n} \right |-4\left |A_{n-1} \right |$

$\Rightarrow \left |A_{n} \right |=5\left |A_{n-1} \right |-4\left |A_{n-2} \right |$

Ta có dãy:

$a_{1}=2; a_{2}=6;a_{n}=5a_{n-1}-4a_{n-2},\forall n\geq 3$

PT đặc trưng:

$x^{2}-5x+4=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}= & 1\\ x_{2}= &4 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ dạng tổng quát $ a_{n}=A.1^{n}+B.4^{n}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}= &A & + &B.4= &2\\ a_{2}= &A & + &B.4^{2}= & 6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A= & \frac{2}{3}\\ B= &\frac{1}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a_{n}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}4^{n}=\frac{4^{n}+2}{3}$

Với $n=11$ thì số các số thỏa yc đề bài là:

$a_{11}=\frac{4^{11}+2}{3}=1398102\text{ số}$

[Nobodyv3]

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 11 chữ số , chia hết cho 3 lập thành từ các chữ số 3,5,7,9 ?

Cách khác, dùng căn bậc 3 của đơn vị :
Xét các chữ số 3,5,7,9 theo $\text{modulo 3}$ ta có hàm sinh :
$f(x)=(2+x+x^2)^{11}$
Gọi $\omega =e^{2\pi i/3}$ là một căn bậc 3 của đơn vị thì theo định lý RUF ta được số các số thỏa yêu cầu là :
$N=\frac{f(1)+f(\omega )+f(\omega ^2)}{3}$ với: $f(1)=4^{11}$ và do $1+\omega ^k+\omega ^{2k}=0$ khi $3\nmid k$ nên $f(\omega) =f(\omega ^{2})=1^{11}=1$
Do đó
$N=\frac{f(1)+f(\omega )+f(\omega ^2)}{3}=\frac{4^{11}+2}{3}.$