Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 11 chữ số , chia hết cho 3 lập thành từ các chữ số 3,5,7,9 .
#1
Đã gửi 14-10-2018 - 17:12
#2
Đã gửi 15-10-2018 - 11:15
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 11 chữ số , chia hết cho 3 lập thành từ các chữ số 3,5,7,9 ?
Đặt:
$A_{n}$ là tập các số n csố (từ các csố đã cho) chia hết cho 3
$B_{n}$ là tập các số n csố (từ các csố đã cho) không chia hết cho 3
Một số thuộc $A_{n}$ có $2$ cách thêm csố cuối (3, 9) để được 2 số thuộc $A_{n+1}$; có $2$ cách thêm csố cuối (5, 7) để được 2 số thuộc $B_{n+1}$
Một số thuộc $B_{n}$ có $1$ cách thêm csố cuối (5 hoặc 7)) để được 1 số thuộc $A_{n+1}$; có $3$ cách thêm csố cuối (3, 9, (5 hoặc 7) để được 3 số thuộc $B_{n+1}$
Do đó:
$\left |A_{n+1} \right |=2\left |A_{n} \right |+\left |B_{n} \right |$
$\left |B_{n+1} \right |=2\left |A_{n} \right |+3\left |B_{n} \right |$
$\Rightarrow \left |B_{n+1} \right |=2\left |A_{n} \right |+3\left ( \left |A_{n+1} \right |-2\left |A_{n} \right | \right )=3\left |A_{n+1} \right |-4\left |A_{n} \right |$
$\Rightarrow \left |A_{n+1} \right |=2\left |A_{n} \right |+3\left |A_{n} \right |-4\left |A_{n-1} \right |=5\left |A_{n} \right |-4\left |A_{n-1} \right |$
$\Rightarrow \left |A_{n} \right |=5\left |A_{n-1} \right |-4\left |A_{n-2} \right |$
Ta có dãy:
$a_{1}=2; a_{2}=6;a_{n}=5a_{n-1}-4a_{n-2},\forall n\geq 3$
PT đặc trưng:
$x^{2}-5x+4=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}= & 1\\ x_{2}= &4 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ dạng tổng quát $ a_{n}=A.1^{n}+B.4^{n}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}= &A & + &B.4= &2\\ a_{2}= &A & + &B.4^{2}= & 6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A= & \frac{2}{3}\\ B= &\frac{1}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a_{n}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}4^{n}=\frac{4^{n}+2}{3}$
Với $n=11$ thì số các số thỏa yc đề bài là:
$a_{11}=\frac{4^{11}+2}{3}=1398102\text{ số}$
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
#3
Đã gửi 10-10-2022 - 08:14
Cách khác, dùng căn bậc 3 của đơn vị :Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 11 chữ số , chia hết cho 3 lập thành từ các chữ số 3,5,7,9 ?
Xét các chữ số 3,5,7,9 theo $\text{modulo 3}$ ta có hàm sinh :
$f(x)=(2+x+x^2)^{11}$
Gọi $\omega =e^{2\pi i/3}$ là một căn bậc 3 của đơn vị thì theo định lý RUF ta được số các số thỏa yêu cầu là :
$N=\frac{f(1)+f(\omega )+f(\omega ^2)}{3}$ với: $f(1)=4^{11}$ và do $1+\omega ^k+\omega ^{2k}=0$ khi $3\nmid k$ nên $f(\omega) =f(\omega ^{2})=1^{11}=1$
Do đó
$N=\frac{f(1)+f(\omega )+f(\omega ^2)}{3}=\frac{4^{11}+2}{3}.$
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh