Chủ đề này có 3 trả lời

[stphung1915]

Cho a,b,c là các số thực dương tùy ý. CMR:

$\frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac{a+3b+c}{3a+2b+3c}+\frac{3a+b+c}{2a+3b+3c}\geq \frac{15}{8}$

[Arthur Pendragon]

BĐT cần chứng minh tương đương với 

$\sum \dfrac{4a+4b+5c}{3a+3b+2c} \geq \dfrac{39}{8}$

Đặt $4a+4b+5c=x;4a+5b+4c=y;5a+4b+4c=z$

Khi đó BĐT trên trở thành:

$\sum \dfrac{x}{7y+7z-6x} \geq \dfrac{3}{8}$

ta có:

$\sum \dfrac{x}{7y+7z-6x} = \sum \dfrac{x^2}{7yx+7zx-6x^2} \geq \frac{(x+y+z)^2}{14(xy+yz+zx)-6(x^2+y^2+z^2)}$

$\geq \frac{(x+y+z)^2}{\dfrac{14}{3}(x+y+z)^2-2(x+y+z)^2}=\frac{3}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 16-10-2018 - 18:11

[stphung1915]

BĐT cần chứng minh tương đương với 

$\sum \dfrac{4a+4b+5c}{3a+3b+2c} \geq \dfrac{39}{8}$

Đặt $4a+4b+5c=x;4a+5b+4c=y;5a+4b+4c=z$

Khi đó BĐT trên trở thành:

$\sum \dfrac{x}{7y+7z-6x} \geq \dfrac{3}{8}$

ta có:

$\sum \dfrac{x}{7y+7z-6x} = \sum \dfrac{x^2}{7yx+7zx-6x^2} \geq \frac{(x+y+z)^2}{14(xy+yz+zx)-6(x^2+y^2+z^2)}$

$\geq \frac{(x+y+z)^2}{\dfrac{14}{3}(x+y+z)^2-2(x+y+z)^2}=\frac{3}{8}$

Bạn ơi, làm cách nào để có thể rút a,b,c theo x,y,z

[Arthur Pendragon]

đặt như vậy thì ta có $x+y+z=13(a+b+c)$. Do đó 

$3a+3b+2c=7(a+b+c)-(4a+4b+5c)$

$=\dfrac{7}{13}(13a+13b+13c)-(4a+4b+5c)$

$=\frac{7}{13}(x+y+z)-x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 16-10-2018 - 19:34