Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1)=1; $\int \left [ f^{'}(x) \right ]^{2}dx=9 và \int_{0}^{1}x^{3}f(x)dx=\frac{1}{2}$. Tích phân $\int_{0}^{1}f(x)dx$ bằng
$\int \left [ f^{'}(x) \right ]^{2}dx=9 và \int_{0}^{1}x^{3}f(x)dx=\frac{1}{2}$. Tích phân $\int_{0}^{1}f(x)
#1
Posted 16-10-2018 - 23:12
#2
Posted 25-11-2018 - 19:29
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1)=1; $\int \left [ f^{'}(x) \right ]^{2}dx=9 và \int_{0}^{1}x^{3}f(x)dx=\frac{1}{2}$. Tích phân $\int_{0}^{1}f(x)dx$ bằng
Sửa lại đề :
$\int_{0}^{1}\left [ f'(x) \right ]^2dx=9$ (1)
$\int_{0}^{1}x^3f(x)dx=\frac{1}{2}$ (2)
---------------------------------------------
Đặt $u=f(x)$ ; $dv=x^3dx$
$\int _0^1x^3f(x)dx=\frac{1}{4}\ x^4f(x)\Bigg|_0^1-\frac{1}{4}\int _0^1x^4f'(x)dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\int _0^1x^4f'(x)dx$ (3)
(2),(3) $\Rightarrow \int _0^1x^4f'(x)dx=-1$ (4)
Mặt khác $\int _0^1x^8dx=\frac{1}{9}$ (5)
(1),(4),(5) $\Rightarrow \int _0^1\left [ f'(x) \right ]^2dx+18\int _0^1x^4f'(x)dx+81\int _0^1x^8dx=0$
hay $\int _0^1\left [ f'(x)+9x^4 \right ]^2dx=0\Rightarrow f'(x)=-9\ x^4$
$\Rightarrow f(x)=-\frac{9}{5}\ x^5+\frac{14}{5}=\frac{1}{5}\left ( 14-9x^5 \right )$ (vì $f(1)=1$)
$\Rightarrow \int _0^1f(x)dx=\frac{1}{5}\int _0^1(14-9x^5)dx=\frac{5}{2}$.
Edited by chanhquocnghiem, 25-11-2018 - 19:31.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users