Chủ đề này có 1 trả lời

[ducthang1202]

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1)=1; $\int \left [ f^{'}(x) \right ]^{2}dx=9 và \int_{0}^{1}x^{3}f(x)dx=\frac{1}{2}$. Tích phân $\int_{0}^{1}f(x)dx$ bằng

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1)=1; $\int \left [ f^{'}(x) \right ]^{2}dx=9 và \int_{0}^{1}x^{3}f(x)dx=\frac{1}{2}$. Tích phân $\int_{0}^{1}f(x)dx$ bằng

Sửa lại đề :

$\int_{0}^{1}\left [ f'(x) \right ]^2dx=9$   (1)

$\int_{0}^{1}x^3f(x)dx=\frac{1}{2}$        (2)

---------------------------------------------

 

Đặt $u=f(x)$ ; $dv=x^3dx$

$\int _0^1x^3f(x)dx=\frac{1}{4}\ x^4f(x)\Bigg|_0^1-\frac{1}{4}\int _0^1x^4f'(x)dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\int _0^1x^4f'(x)dx$ (3)

(2),(3) $\Rightarrow \int _0^1x^4f'(x)dx=-1$  (4)

Mặt khác $\int _0^1x^8dx=\frac{1}{9}$          (5)

(1),(4),(5) $\Rightarrow \int _0^1\left [ f'(x) \right ]^2dx+18\int _0^1x^4f'(x)dx+81\int _0^1x^8dx=0$

hay $\int _0^1\left [ f'(x)+9x^4 \right ]^2dx=0\Rightarrow f'(x)=-9\ x^4$

$\Rightarrow f(x)=-\frac{9}{5}\ x^5+\frac{14}{5}=\frac{1}{5}\left ( 14-9x^5 \right )$ (vì $f(1)=1$)

$\Rightarrow \int _0^1f(x)dx=\frac{1}{5}\int _0^1(14-9x^5)dx=\frac{5}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-11-2018 - 19:31