Chủ đề này có 1 trả lời

[DOTOANNANG]

Cho đường tròn ngoại tiếp $\left ( \,\text{O}\, \right )$ của $\Delta \text{ABC}$ và $\text{E},\,\text{M}$ cùng nằm trên $\text{AB}$ ($\text{E}$ gần với $\text{A}$ hơn!), để $\text {CE}\,\cap \,\left ( \,\text{O}\, \right )= \left \{ \text{D} \right \}$. Tiếp tuyến tại $\text{E}$ của đường tròn $\omega$ (Omega) qua $3$ điểm $\text{E},\,\text{D},\,\text{M}$ gặp $\text{BC}$ tại $\text{F}$. Đường thẳng song song với $\text{AC}$ qua $\text{E}$ cắt đường thẳng song song với $\text{BC}$ qua $\text{M}$ tại $\text{N}$. Chứng minh: $\text{F},\,\text{A},\,\text{N}$ thẳng hàng!

 

[Khoa Linh]

$AN$ cắt $BC$ tại $F$. Ta sẽ chứng minh $FM$ là tiếp tuyến.  $EN$ cắt $CM$ tại $J$, $AI$ cắt $BC$ tại $J$.  $MN$ cắt $BC$ tại $K$.

 

Ta có $\angle DIE=\angle DCB=\angle DAE \Rightarrow DEIA$ nội tiếp nên $\triangle BDE \sim  \triangle CAI (g.g)$

$\Rightarrow \angle BDE= \angle CAI$. (1)

 

Mặt khác $\dfrac{BF}{FJ}=\dfrac{EN}{NI}=\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{BM}{MA} \Rightarrow MF \parallel AI $.

Suy ra $ \angle FMN =\angle IAC$ (hai góc có hai cạnh tương ứng song song). (2)

Từ (1) và (2) kết hợp $\angle BDM=\angle EMN=\angle ABC$  ta có 

 $ \angle FMN =\angle BDE \Leftrightarrow \angle BDM -  \angle BDE = \angle EMN -\angle FMN \Rightarrow \angle EDM= \angle EMF$.

Suy ra $MF$ là tiếp tuyến $(EDM)$. 

 

p/s: Diễn đàn dạo này buồn quá, cũng chả buồn lên check ( 

 

Hình gửi kèm

•