Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a,b,c>0; abc=a+b+c:


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 darksoul

darksoul

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết

Đã gửi 22-10-2018 - 12:32

Cho a,b,c>0; abc=a+b+c; Chứng minh: $\frac{bc}{a(bc+1)}+\frac{ca}{b(ca+1)}+\frac{ab}{c(ab+1)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}$

#2 WaduPunch

WaduPunch

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47-THPT chuyên PBC
  • Sở thích:Mén Nì Thình

Đã gửi 25-10-2018 - 15:55

ĐK $< = > \frac{1}{ab} +\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Ta cần c/m: $\sum \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{bc}+1} \geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Đặt $\frac{1}{a}=x, \frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ . Khi đó ta có: $xy+yz+zx=1$ và cần chứng minh: 

$\sum \frac{x}{yz+1}\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Thật vậy; $\frac{x}{yz+1} + \frac{9}{16}x\left ( yz+1 \right )\geq 2\sqrt{\frac{x}{yz+1}.\frac{9}{16}x\left ( yz+1 \right )}=\frac{3}{2}x=>\frac{x}{yz+1} \geq \frac{15}{16}x -\frac{9}{16}xyz=>\sum \frac{x}{yz+1}\geq \frac{15}{16}\left ( x+y+z \right )-\frac{27}{16}xyz$

Mà $\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3\left ( xy+yz+zx \right )=3 =>x+y+z\geq \sqrt{3}$

Và $xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=>xyz\leq \frac{\sqrt{3}}{9}$

Vậy$\sum \frac{x}{yz+1}\geq \frac{15}{16}\sqrt{3}-\frac{27}{16}\frac{\sqrt{3}}{9}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$=>đpcm






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh