Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b,c>0; abc=a+b+c:


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
darksoul

darksoul

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết
Cho a,b,c>0; abc=a+b+c; Chứng minh: $\frac{bc}{a(bc+1)}+\frac{ca}{b(ca+1)}+\frac{ab}{c(ab+1)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}$

#2
WaduPunch

WaduPunch

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 40 Bài viết

ĐK $< = > \frac{1}{ab} +\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Ta cần c/m: $\sum \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{bc}+1} \geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Đặt $\frac{1}{a}=x, \frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ . Khi đó ta có: $xy+yz+zx=1$ và cần chứng minh: 

$\sum \frac{x}{yz+1}\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Thật vậy; $\frac{x}{yz+1} + \frac{9}{16}x\left ( yz+1 \right )\geq 2\sqrt{\frac{x}{yz+1}.\frac{9}{16}x\left ( yz+1 \right )}=\frac{3}{2}x=>\frac{x}{yz+1} \geq \frac{15}{16}x -\frac{9}{16}xyz=>\sum \frac{x}{yz+1}\geq \frac{15}{16}\left ( x+y+z \right )-\frac{27}{16}xyz$

Mà $\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3\left ( xy+yz+zx \right )=3 =>x+y+z\geq \sqrt{3}$

Và $xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=>xyz\leq \frac{\sqrt{3}}{9}$

Vậy$\sum \frac{x}{yz+1}\geq \frac{15}{16}\sqrt{3}-\frac{27}{16}\frac{\sqrt{3}}{9}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$=>đpcm






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh