Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Dạng toàn phương

quadratic forms

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 531 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-10-2018 - 18:56

Định nghĩa. Một dạng toàn phương $Q(x_1,...,x_n)$ n biến trên k (k có thể là $\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{Z}$) là một biểu thức có dạng $$\sum_{1\leq i,j \leq n} a_{ij} x_i x_j,$$
trong đó $a_{i,j}\in k.$

Ví dụ.
1. Biểu thức $x^2+xy-2y^2$ là một dạng toàn phương trên $\mathbb{R},\mathbb{Q}, \mathbb{Z}$.
2. Biểu thức $0x^3+0x^2 y+0 x y^2+ 0 y^3$ luôn là một dạng toàn phương trên k. Để cho tiện, ta luôn ký hiệu dạng toàn phương kiểu này bằng 0.

Bài tập.
1. Chứng minh rằng nếu dạng toàn phương Q khác 0 thì tồn tại các số $a_1,...,a_n$ sao cho $a_1^2+...+a_n^2$ khác 0 và $Q(a_1,...,a_n)=0.$

Định nghĩa. Dạng toàn phương Q được gọi là biểu diễn phần tử $b\in k$ nếu tồn tại các số $a_1,...,a_n$ sao cho $Q(a_1,...,a_n)=b.$ Trong trường hợp b=0 và ta yêu cầu các số $a_i$ được chọn sao cho $a_1^2+...+a_n^2>0$.

Ví dụ. Dạng toàn phương $x^2+y^2$ biểu diễn 1 trên $\mathbb{Q}:$ dạng toàn phương $x^2+y^2$ không biểu diễn 0; dạng toàn phương $x^2+y^2$ chỉ biểu diễn các số nguyên chia 4 dư 1 trên $\mathbb{Z}.$

Định nghĩa. Mọi dạng toàn phương Q trên k đều viết được dưới dạng $\sum_{ij}a_{ij} x_i x_j$ sao cho $a_{ij}\in \mathbb{R},a_{ij}=a_{ji}.$ Bây giờ ta chỉ quan tâm tới các dạng toàn phương 2 biến và 3 biến. Như vậy, ta có các véc tơ trong mặt phẳng hoặc không gian $(a_{i1}),...,(a_{in}).$ Ta gọi thể tích của hình bình hành hoặc hình hộp dựng bởi các véc tơ này là định thức của Q và ký hiệu là det(Q). Dạng Q được gọi là chính quy nếu det(Q) khác 0.

Ví dụ. Dạng toàn phương $x^2+3xy+y^2$ có định thức bằng $-5/4.$ Thật vậy, $x^2+3xy+y^2=x^2+3/2 xy +3/2 xy +y^2,$ và hình bình hành dựng bởi các véc tơ $(1,3/2),(3/2,1)$ có diện tích $-5/4$

Bài tập.
1. Cho công thức của det(Q) của dạng toàn phương 2 hoặc 3 biến Q theo các hệ số của Q.
2. Chứng minh rằng nếu Q là một dạng toàn phương 2 biến trên $\mathbb{Z}$ thì $-4det(Q)$ luôn chia 4 dư 1.

Còn tiếp...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 25-10-2018 - 03:08





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh