trong đó $a_{i,j}\in k.$
Ví dụ.
1. Biểu thức $x^2+xy-2y^2$ là một dạng toàn phương trên $\mathbb{R},\mathbb{Q}, \mathbb{Z}$.
2. Biểu thức $0x^3+0x^2 y+0 x y^2+ 0 y^3$ luôn là một dạng toàn phương trên k. Để cho tiện, ta luôn ký hiệu dạng toàn phương kiểu này bằng 0.
Bài tập.
1. Chứng minh rằng nếu dạng toàn phương Q khác 0 thì tồn tại các số $a_1,...,a_n$ sao cho $a_1^2+...+a_n^2$ khác 0 và $Q(a_1,...,a_n)=0.$
Định nghĩa. Dạng toàn phương Q được gọi là biểu diễn phần tử $b\in k$ nếu tồn tại các số $a_1,...,a_n$ sao cho $Q(a_1,...,a_n)=b.$ Trong trường hợp b=0 và ta yêu cầu các số $a_i$ được chọn sao cho $a_1^2+...+a_n^2>0$.
Ví dụ. Dạng toàn phương $x^2+y^2$ biểu diễn 1 trên $\mathbb{Q}:$ dạng toàn phương $x^2+y^2$ không biểu diễn 0; dạng toàn phương $x^2+y^2$ chỉ biểu diễn các số nguyên chia 4 dư 1 trên $\mathbb{Z}.$
Định nghĩa. Mọi dạng toàn phương Q trên k đều viết được dưới dạng $\sum_{ij}a_{ij} x_i x_j$ sao cho $a_{ij}\in \mathbb{R},a_{ij}=a_{ji}.$ Bây giờ ta chỉ quan tâm tới các dạng toàn phương 2 biến và 3 biến. Như vậy, ta có các véc tơ trong mặt phẳng hoặc không gian $(a_{i1}),...,(a_{in}).$ Ta gọi thể tích của hình bình hành hoặc hình hộp dựng bởi các véc tơ này là định thức của Q và ký hiệu là det(Q). Dạng Q được gọi là chính quy nếu det(Q) khác 0.
Ví dụ. Dạng toàn phương $x^2+3xy+y^2$ có định thức bằng $-5/4.$ Thật vậy, $x^2+3xy+y^2=x^2+3/2 xy +3/2 xy +y^2,$ và hình bình hành dựng bởi các véc tơ $(1,3/2),(3/2,1)$ có diện tích $-5/4$
Bài tập.
1. Cho công thức của det(Q) của dạng toàn phương 2 hoặc 3 biến Q theo các hệ số của Q.
2. Chứng minh rằng nếu Q là một dạng toàn phương 2 biến trên $\mathbb{Z}$ thì $-4det(Q)$ luôn chia 4 dư 1.
Còn tiếp...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 25-10-2018 - 03:08
