Chủ đề này có 2 trả lời

[trang2004]

Cho $\Delta ABC$ .$I$ là tâm đường tròn nội tiếp các dường phân giác trong của các góc $\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}$ cắt các cạnh đối diện tại A',B',C' CM$\frac{1}{4}\leq\frac{AI.BI.CI}{AA'.BB'.CC'}\leq \frac{8}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trang2004: 24-10-2018 - 11:40

[hoangquan0511]

vế phải nhé

Kẻ AH\perp BC IK\perp BC=>IK=r  (Đặt AH=h₁, cho dễ ghi)$\frac{AI}{AA'}$

Xét \frac{AI}{AA'}=1-\frac{IA'}{AA'}=1-\frac{r}{h_{1}}

tương tự với 2 cái còn lại ta được biểu thức mới

\left ( 1-\frac{r}{h_{1}} \right )\left ( 1-\frac{r}{h_{2}} \right )\left ( 1-\frac{r}{h_{3}} \right )

\leq \left [ \frac{3-r\left ( \frac{1}{h_{1}} +\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}}\right )}{3} \right ]^{3} (cô si)

Rồi dựa vào công thức S=pr, S=ah (p=nửa chu dzi) để tìm ra max nhé 

buồn ngủ r

[WaduPunch]

$\frac{AI}{IA'}=\frac{AB}{BA'}$ mà $\frac{BA'}{A'C}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}= > \frac{BA'}{BC}=\frac{c}{c+b}= > BA' = \frac{ac}{c+b}$$= > \frac{AI}{IA'} = \frac{c}{\frac{ac}{c+b}}=\frac{b+c}{a}= > \frac{AI}{AA'}=\frac{b+c}{a+b+c}$ 

Ta cần chứng minh: $\frac{b+c}{a+b+c}.\frac{a+c}{a+b+c}.\frac{b+a}{a+b+c} \leq \frac{8}{27}< = > 27\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\leq 8\left ( a+b+c \right )^{3}< = > 27\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right ) \leq \left ( \left ( a+b \right )+\left ( b+c \right )+ \left ( c+a \right )\right )^{3}< = > 3\sqrt[3]{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}\leq \left ( a+b \right )+\left ( b+c \right ) +\left ( c+a \right )$ ( BĐT Cô-si) $= >$ đpcm