Đây là đề bài và bải giải đề thi toán quốc tế IMO năm 1982, được cho là rất khó trong các đề của kì thi toán năm đó, chỉ có rất ít học sinh làm được
Đề thi: Cho S là hình vuông cạnh 100 và L là đường gấp khúc không tự cắt tạo thành các đoạn thẳng : A0,A1,...An-1, An; A0 ≠ An. Giả sử mối điểm P trên biên của S đều có 1 điểm thuộc L cách P không quá 1/2 . Hãy chứng minh tồn tại 2 điểm X và Y thuộc L sao cho khoảng cách giữa X và Y không vượt quá 1 và độ dài phần gấp khúc L nằm giữa X và Y không nhỏ hơn 198. (không có bải giải đáp của IMO-1982)
Bải gải:
Khoảng cách giữa X và Y là 1; Chọn lấy : P1X=1/2; P2Y=1/2;
Theo đầu bài hiển nhiên phải có P1, P2 trùng nhau (P) để XP=1
Vậy tam giác XPY phải là tam giác bẹt, XPY thẳng hàng trên biên của S (xem hình 1)
X và Y trên biên của S (xem hình 2)
Vì đường gấp khúc dọc theo biên và đường gấp khúc XNK không được cắt nhau.
Không làm mất tính tổng quát, giả sử chúng cách nhau 1/2 (lấy NN’ = ½) do đó PN = 99
(xem hình 4 và 3)
Hinh 4
Suy ra : bất kỳ Pi trên biên giữa X và Y thoả mãn có 1 điểm trên L để từ điểm đó đến Pi không qúa ½ (theo giả thiết)
K trên PN vì tam giác PXN vuông
XK = 99
XN > 99
Xét tam giác XMK:
Đường gấp khúc XMK > XK =99 vì góc M > 900
Đường gấp khúc XMKM’Y > 198 (phần đối xứng qua PN)
K trên PN, XK = 99 YM’K > YK vậy XMKM’Y > 2 x 99=198
- Đường gấp khúc này > 198 => không tồn tại đường gấp khúc < 198 giữa X và Y
Như đã nói N không trùng N’ vì khi đó 2 đường gấp khúc tự cắt nhau (trái với giả thiết). Giả sử không mất tính tổng quát N cách N’ bằng ½
Kết luận: độ dài phần gấp khúc L nằm giữa X và Y không nhỏ hơn 198 (XN > 99, đường gấp khúc XNY > 198)
Vậy bài toán đã chứng minh xong,
Ghi chú :
Chi tiết vẽ to ở hình 5 (trong hình 4 ở dưới)
X Y trên biên của S
XK = 99
Pi nằm trên XP PiQi ≤ 1/2
Qi nằm trên XQ
Vậy đường gấp khúc XKM thoả mãn giả thiết, suy ra M chạy trên diện tích tam giác XKP nên suy ra đường gấp khúc XKY ≥ 198.
Ở giả thiết N cách N’ bằng ½ , nếu nó ở gần sát N’ thì kết quả bài toán không thay đổi ; vì đường gấp khúc XKY ≥ 198 bao gồm cả khi gần tới N’.
Đây là trường hợp có nhiều giới hạn dưới, ta chọn giới hạn dưới lớn nhất;( K chạy từ 0 à 99 )
Ở trên cho Pi ở bên trái và bên phải của P, với P ở giữa X và Y ( XP =YP =1/2) và theo giả thiết là trên L có một Qi để PiQi ≤ ½ là hoàn toàn phù hợp với giả thiết, vì khi đó Qi vân ở trên L mặc dầu chúng ở phía đầu này hay đầu kia của L.
GHI CHÚ 2:
PiQi =1/2
Pi2Qi2 ½
Pi1Qi1 ½
Chứng minh : mỗi Pi trên XP có một Qi trên XQ sao cho khoảng cách PiQi ≤ ½
(xem hình 6)
Tam giác XPN là tam giác có 3 góc nhọn => bài toán thoả mãn điều kiện đã nói ở trên.
Phần giải thích bổ xung:
Miền giới hạn (X,Y) ở đối diện với X và Y. Ta gọi X’, Y’ (bên song song với XY của hình vuông).
Đường gấp khúc XmY của m nằm trong vùng giới hạn đối diện (xem hình 7). Do thoả mãn mỗi P trên biên có 1 (m) trên L sao cho khoảng cách P’m ≤1/2 . Vậy mỗi đường gấp khúc đi qua X và Y đều ≥ 198. ( bài toán đã được chứng minh xong, kết hợp với các phần đã chứng minh ở trên)
Tôi không biết đáp án gốc của IMO 1982 thế nào nhưng đây là phần lời giải với kiến thức vửa đủ và đơn giản của tôi xin chia sẻ cùng bạn đọc.