cho x,y>0 và $(x+y)^3+4xy\leq{12}$ .Tìm max của $P=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+2019xy$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 28-10-2018 - 11:44
cho x,y>0 và $(x+y)^3+4xy\leq{12} .Tìm max của $P=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+2019xy$
Bắt đầu bởi
toanhoc2017
, 28-10-2018 - 11:43
#2
Đã gửi 15-04-2021 - 12:32
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Đặt $\sqrt{xy}=t$ thì ta có: $12\geqslant (x+y)^3+4xy\geqslant (2\sqrt{xy})^3+4xy=8t^3+4t^2\Leftrightarrow 4(t-1)(2t^2+3t+3)\leqslant 0\Leftrightarrow t\leqslant 1$
Xét: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}-\frac{2}{1+\sqrt{xy}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2(\sqrt{xy}-1)}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})}\leqslant 0\Rightarrow \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\leqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$
Như vậy: $P\leqslant \frac{2}{1+t}+2019t^2-2020+2020=\frac{(t-1)(2019t^2+4038t+2018)}{1+t}+2020\leqslant 2020$
Vậy Pmax = 2020 khi $x = y = 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 15-04-2021 - 12:33
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
