1. Cho 10 điểm phân biệt, không có 3 điểm nào thẳng hàng và nằm trong một tam giác đều, cạnh bằng 2. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 điểm trong 10 điểm đã cho sao cho 3 điểm này là đỉnh của một tam giác có diện tích không vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và có ít nhất một góc không lớn hơn 45 độ.
2. Một dãy nhà có 19 phòng. Ban đầu mỗi phòng có một người. Sau đó, cứ mỗi ngày có 2 người nào đó chuyển sang 2 phòng bên cạnh nhưng theo chiều ngược nhau. Hỏi sau một số ngày có hay không trường hợp:
a, Không có ai ở phòng có số thứ tự chẵn.
b, Có 10 người ở phong 19.
3. Trên mặt phẳng cho 2018 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có 1009 điểm tô màu đỏ và 1009 điểm tô màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại 1 cách nối 1009 đoạn thẳng đôi một không cắt nhau mà 2 đầu mút là 2 màu khác nhau.