ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THCS GIẢNG VÕ NĂM HỌC 2018-2019
Bài 1: Tính giá trị $Q=x^3+7x$ biết :$x=\sqrt[3]{33\sqrt{2}+\sqrt{2178+\frac{343}{27}}}-\sqrt[3]{-33\sqrt{2}+\sqrt{2178+\frac{343}{27}}}$
Bài 2: Giải phương trình sau: $2\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x+4}}+x^2-4=\frac{2}{\sqrt{x^2+1}}$.
Bài 3:
1) Tìm số nguyên dương có hai chữ số $\overline{xy}$ sao cho: $\overline{xy}=(x-1)^2+(y+4)^2$.
2) Xác định tất cả các cặp số $(a;b)$ nguyên dương sao cho $a^2b+a+b$ chia hết cho $ab^2+b+7$, biết $b^2\le 7a$.
Bài 4: Cho các số thực dương $a,b$. Chứng minh rằng: $\frac{2\sqrt{2}}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\ge \frac{24}{(a+b)^3}$.
Bài 5: Cho đường tròn $(O;R)$, đường kính $AB$, dây cung $AC$ không qua tâm. Gọi $H$ là trung điểm của $AC$. Tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn $(O)$ cắt tia $OH$ tại $M$.
a) Chứng minh $MA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
b) Vẽ $CK$ vuông góc với $AB$ tại $K$, gọi $I$ là trung điểm của $CK$ và cho $\angle{CAB}=\alpha$. Tính $IK$ theo $R$ và $\alpha$.
c) Chứng minh ba điểm $M,I,B$ thẳng hàng.
Bài 6: Trên bàn cờ $10*10$ người ta viết các số từ $1$ đến $100$. Mỗi hàng chọn ra số đứng thứ $3$ khi xếp các số của hàng đó theo thứ tự từ lớn đến nhỏ. Chứng minh rằng tồn tại một hàng có tổng các số trong hàng đó nhỏ hơn tổng các số được chọn.
