Bài $3$ : gọi $D$ là chân đường cao từ $A$ xuống tam giác $ABC$
Xét phép nghịch đảo cực $A$ phương tích là $AH.AD$ ta chuyển bài toán về bài toán sau:
cho tam giác $ABC,M$ là trung điểm $BC$ đường thẳng qua $M$ vuông góc $AB$ cắt $AB,AC$ tại $F,K$
đường thẳng qua $M$ vuông góc $AC$ cắt $AC,AB$ tại $R,T$,$H$ là trực tâm tam giác $ABC$ $Hb,Hc$ là hình chiếu $B,C$ lên $AC,AB$
gọi $U$ là giao $(AHbT),(AHcK)$ ta chứng minh $AU$ đi qua đối xứng $O$ là $O'$ qua $BC$ cố định
thật vậy tam giác $HcUT$ ~ $KUHb$ ->$\frac{d/(U/AB)}{d/(U/AC)}=\frac{HcT}{HbK}$
vậy ta chứng minh $\frac{d/(O'/AB)}{d/(O'/AC)}=\frac{HcT}{HbK}$
Gọi $X$ là giao 2 tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ ,cộng góc ta có $XT$ vuông $AB$,$XK$ vuông $AC$
có $\frac{d/(O'/AB)}{d/(O'/AC)}=\frac{d/(O'/AB)}{BO'}.\frac{CO'}{d/(O'/AC)}$ = $\frac{sin(90+BAC-ABC)}{sin(90+BAC-ACB)}$
$\frac{HcT}{HbK}=\frac{HcT}{MHc}.\frac{MHb}{HbK}=\frac{sinHcMT}{sinBXM}.\frac{sinMXC}{sinHbMK}=\frac{sin HcMT}{sin HbMK}$
có góc $HcMH=2(90-ABC)+90-(180-ABC-BAC)=90+BAC-ABC$
góc $HbMK=2(90-ACB)+90-(180-ACB-BAC)=90+BAC-ACB$
vậy ->$AU$ đi qua $O'$ cố định-> $AZ$ luôn đi qua điểm cố định do $U$ là ảnh nghịch đảo của $Z$ qua phép nghịch đảo cực $A$ phương tích $AH.AD$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaobu909: 03-11-2018 - 22:32