Chủ đề này có 1 trả lời

[takarin1512]

Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên đoạn $[a,b]$. Biết rằng $f'(a)=f'(b)=0$. Chứng minh tồn tại $c\in [a,b]$ sao cho $f''(c)\geq \frac{4|f(a)-f(b)|}{(b-a)^2}$

[anhquannbk]

Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên đoạn $[a,b]$. Biết rằng $f'(a)=f'(b)=0$. Chứng minh tồn tại $c\in [a,b]$ sao cho $f''(c)\geq \frac{4|f(a)-f(b)|}{(b-a)^2}$

Nếu $f(x)$ là hàm hằng thì ta dễ thấy điều phải chứng minh.

Nếu $f(x)$ là hàm tuyến tính$(f(x)=\alpha x+\beta, \alpha \ne 0)$ thì mâu thuẫn với giả thiết $f'(a)=f'(b)=0$.

Áp dụng định lý Cauchy cho $f(x)$ và hàm $h(x)=\dfrac{1}{2}(x-a)^2$ trên đoạn $[a,\dfrac{1}{2}(a+b)]$ ta có:

$ \dfrac{8[f(\dfrac{a+b}{2})-f(a)]}{(b-a)^2}= \dfrac{f'(m_1)}{m_1-a}, a<m_1<\dfrac{1}{2}(a+b)$
Áp dụng định lý Cauchy cho $f(x)$ và hàm $g(x)=\dfrac{1}{2}(x-b)^2$ trên đoạn $[\dfrac{1}{2}(a+b), b]$ ta có:

$ \dfrac{8[f(b)-f(\dfrac{a+b}{2})]}{(b-a)^2}= \dfrac{f'(m_2)}{m_2-b}, \dfrac{1}{2}(a+b)<m_2<b$
Suy ra $ \dfrac{8[f(\dfrac{a+b}{2})-f(a)]}{(b-a)^2}+ \dfrac{8[f(b)-f(\dfrac{a+b}{2})]}{(b-a)^2} =\dfrac{f'(m_1)}{m_1-a}+\dfrac{f'(m_2)}{m_2-b} $

hay $ \dfrac{8[f(b)-f(a)]}{(b-a)^2}=\dfrac{f'(m_1)-f'(a)}{m_1-a}+\dfrac{f'(m_2)-f'(b)}{m_2-b} $

Áp dụng định lý Lagrange cho $f'(x)$ ta được:

$ \dfrac{f'(m_1)-f'(a)}{m_1-a}=f''(n_1), a<n_1<m_1 $

và

$ \dfrac{f'(m_2)-f'(b)}{m_2-b}=f''(n_2), m_2<n_2<b $

Do đó $ \dfrac{8[f(b)-f(a)]}{(b-a)^2}=f''(n_1)+f''(n_2) $

và

$\dfrac{8}{(a-b)^2}|f(b)-f(a)|= |f''(n_1)+f''(n_2)| \le 2.max(|f''(n_1)|, |f''(n_2)|) $

Như vậy tồn tại $c=n_1$ hoặc $c=n_2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 03-11-2018 - 18:42