Chủ đề này có 2 trả lời

[luuvanthai]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. CMR: $\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\geq 2$

[Khoa Linh]

$\sum \frac{a+bc}{b+c}=\sum \frac{a(a+b+c)+bc)}{b+c}=\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}$

Đến đây sử dụng BĐT $\sum \frac{xy}{z}\geq x+y+z$ là xong.

[sanji123]

do a+b+c=1 nên

a+bc/b+c=(a+c)(a+b)/(b+c).

tương tự có:

b+ac/c+a=(b+a)(b+c)/c+a

c+ab/a+b=(c+a)(c+b)/a+b

khi đó bđt tương đương:

A=(a+c)(a+b)/b+c + (b+a)(b+c)/c+a  (c+a)(c+b)/a+b=2.

AD bđt phu  x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz

thi có a>=2(a+b+c)=2.

dau=xay ra khi va chi khi a=b=c=1/3