Chủ đề này có 1 trả lời

[luuvanthai]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca\leq abc$. CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+2$

[ThinhThinh123]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca\leq abc$. CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+2$

Vì $ab+bc+ca \leq abc$ $=> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq 1$

Ta có:

        $2 \geq 2.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$<=> 2 \geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}) \geq \frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}$

Suy ra: 

$ \frac{b+c}{a^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+2$

$ \geq \frac{b+c}{a^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}$

$ \geq (\frac{b+c}{a^{2}}+\frac{4}{b+c})+(\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{4}{a+b})+(\frac{c+a}{b^{2}}+\frac{4}{c+a})$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz. Ta có:

$ \frac{b+c}{a^{2}} + \frac{4}{b+c} \geq \frac{4}{a}$

$=> \sum \frac{b+c}{a^{2}}+2 \geq \sum \frac{b+c}{a^{2}} + \sum \frac{4}{b+c} \geq \frac{4}{a} + \frac{4}{b} + \frac{4}{c}$

                                 $\geq 4.(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

                                 $\geq 4.\frac{1}{2}.(\frac{4}{a+b} + \frac{4}{b+c} + \frac{4}{c+a})$

                                 $\geq \frac{8}{a+b} + \frac{8}{b+c} + \frac{8}{c+a}$

=> ĐPCM

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThinhThinh123: 04-11-2018 - 08:16