Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca\leq abc$. CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+2$
CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}+\
#1
Đã gửi 03-11-2018 - 20:16
#2
Đã gửi 04-11-2018 - 08:13
Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca\leq abc$. CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+2$
Vì $ab+bc+ca \leq abc$ $=> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq 1$
Ta có:
$2 \geq 2.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
$<=> 2 \geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}) \geq \frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}$
Suy ra:
$ \frac{b+c}{a^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+2$
$ \geq \frac{b+c}{a^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}$
$ \geq (\frac{b+c}{a^{2}}+\frac{4}{b+c})+(\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{4}{a+b})+(\frac{c+a}{b^{2}}+\frac{4}{c+a})$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz. Ta có:
$ \frac{b+c}{a^{2}} + \frac{4}{b+c} \geq \frac{4}{a}$
$=> \sum \frac{b+c}{a^{2}}+2 \geq \sum \frac{b+c}{a^{2}} + \sum \frac{4}{b+c} \geq \frac{4}{a} + \frac{4}{b} + \frac{4}{c}$
$\geq 4.(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$
$\geq 4.\frac{1}{2}.(\frac{4}{a+b} + \frac{4}{b+c} + \frac{4}{c+a})$
$\geq \frac{8}{a+b} + \frac{8}{b+c} + \frac{8}{c+a}$
=> ĐPCM
Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThinhThinh123: 04-11-2018 - 08:16
- luuvanthai yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh