Chủ đề này có 2 trả lời

[Thong Nhat]

1) Cho tam giác $ABC$ nhọn ngoại tiếp đường tròn $(I).(IBC)$ cắt $(I)$ tại $D,E$ sao cho $D$ ở gần $B,E$ ở gần $C.K$ là giao điểm thứ hai của $(I)$ và $BE,CD$ cắt $BI$ tại $T,CD$ cắt $(I)$ tại $L \neq D.$ Đường thẳng qua $T$ vuông góc với $BI$ cắt $(I)$ tại $P$ nằm trong $\Delta IBC.$ Chứng minh tiếp tuyến tại $P$ của $(I),KL,BI$ đồng quy.

2) Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ nội tiếp $(O, R).$ Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H.K$ là hình chiếu của $O$ lên $BC,J$ nằm trên $OK$ sao cho $OK.OJ=R^2.HK,EF$ cắt nhau tại $I.BC$ cắt $EF$ tại $P.AP$ cắt lại $(O)$ tại $Q.$ Chứng minh:

a) $\overline{H,K,I,Q}$ và $ID \perp OP.$

b) $\overline{I,J,D}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 03-01-2019 - 07:25

[halloffame]

$1/$

Gọi $L'$ đối xứng $L$ qua $BI,DL'$ cắt $KL$ tại $F.$

Ta có $DI=EI \Rightarrow \widehat{DBI}= \widehat{IBE}= \widehat{IBK} \Rightarrow \Delta DBI= \Delta KBI \Rightarrow D$ đối xứng $K$ qua $BI.$

Do đó $F \in BI,$ lại có $\overline{D,T,L} \Rightarrow \overline{K,T,L'} \Rightarrow T$ thuộc đối cực của $F$ đối với $(I) \Rightarrow FP$ tiếp xúc $(I).$

Ta có đpcm. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 03-01-2019 - 09:01

[halloffame]

$2/$ 

Áp dụng định lí $Brocard$ cho tứ giác $BFEC$ nội tiếp $(K,KB) \Rightarrow \overline{K,H,Q}.$

$FE$ cắt $(O)$ tại $G,M$ sao cho $G$ nằm giữa $P,M.OA$ cắt $FE$ tại $N.$ Xét cực và đối cực với $(O),$ ta có:

$\widehat{AQI}= \widehat{ANI}=90^0 \Rightarrow PI.PN=PA.PQ=PG.PM,$ lại có $N$ là trung điểm $GM \Rightarrow (PIGM)=-1.$

Lại có $(PDBC)=-1 \Rightarrow P$ là cực $DI.$

Theo cách xác định $J$ thì $JB,JC$ tiếp xúc $(O) \Rightarrow P \in BC$ là đối cực $J \Rightarrow J \in$ đối cực $P$ là $DI \Rightarrow ID \perp OP.$
Ta có đpcm.