Chủ đề này có 3 trả lời

[vmf999]

Cho 2 số a và b thỏa mãn a> 0 , b > 0 . xét tập hợp T các số có dạng T={ax+by} , trong đó x,y là các số thỏa mãn x,y > 0 , x+y = 1 . Chứng minh rằng các số :$\frac{2ab}{a+b}$) và $\sqrt{ab}$ đều thuộc tập hợp T .
Cảm ơn ạ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vmf999: 04-11-2018 - 14:15

[vmf999]

@@

[ThuanTri]

Để $\frac{2ab}{a+b} \epsilon T$ thì x và y là nghiệm của hệ phương trình:

        $\left\{\begin{matrix} ax+by=\frac{2ab}{a+b}\\ x+y=1 \end{matrix}\right.$(x,y>0)

        $\left\{\begin{matrix} ax+by=\frac{2ab}{a+b}\\ y=1-x \end{matrix}\right.$

        $\left\{\begin{matrix} a^2x+abx+b^2-b^2x+ab-abx-2ab=0\\ y=1-x \end{matrix}\right.$

        $\left\{\begin{matrix} x(a^2-b^2)+b^2-ab=0\\ y=1-x \end{matrix}\right.$

        $\left\{\begin{matrix} x(a-b)(a+b)=b(a+b)\\ y=1-x \end{matrix}\right.$

        $\left\{\begin{matrix} x=\frac{b}{a+b}\\ y=\frac{a}{a+b} \end{matrix}\right.$ thỏa mãn x,y>0

        Vậy ta có điều phải chúng minh (đpcm)

Ta có x=1-y(gt)

TH1 a=b suy ra $\sqrt{ab} = a = a.1 = a(x+y)= ax+ay = ax+by$ (đpcm)

TH2 a$\neq$b thì x và y là nghiệm của phương trình $ax+by=\sqrt{ab}$

        hay $ax+b(1-x)=\sqrt{ab}$

               $x(a-b)=\sqrt{ab}-b$

               $x=\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

               $x=\frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ thỏa mãn x>0, ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuanTri: 04-11-2018 - 21:06

[vmf999]

Cảm ơn ạ