Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum_{k=2}^{n} \omega(k) \geq cn.log(log(n))$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

Gọi $\omega(n)$ là số ước nguyên tố của $n$ .Chứng minh với mọi $c<1$ thì tồn tại $n$ sao cho :

$\sum_{k=2}^{n} \omega(k) \geq cn.log(log(n))$

[log ở đây mình ký hiệu thay cho $log_e$]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 05-11-2018 - 22:55

Sống khỏe và sống tốt :D


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 664 Bài viết

Biến đổi

\[\sum_{k\le n}\omega(k)=\sum_{k\le n}\sum_{p\mid k}1=\sum_{p\le n}\sum_{\substack{k\le n\\p\mid k}}1=\sum_{p\le n}\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor\ge \sum_{p\le n}\left ( \frac{n}{p}-1 \right ) \ge n\left(\sum_{p\le n}\frac{1}{p}-1\right).\]

Theo định lí Merten thứ 2 thì $\sum_{p\le n}\frac{1}{p}=\ln \ln n+O(1)$, do vậy

\[\sum_{k\le n}\omega(k)\ge n(\ln \ln n+O(1)).\]

Vì $c<1$ nên tồn tại $n$ thỏa đề.


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh