Chủ đề này có 4 trả lời

[Khoa Linh]

Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức sau 

$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^2+a^2}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

 

[DOTOANNANG]

$$\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}+ \frac{b^{2}}{\sqrt{b^{2}+ c^{2}}}+ \frac{c^{2}}{\sqrt{c^{2}+ a^{2}}}\geqq \text{K}\geqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

với $\text{K}= a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}\,+\,b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}\,+\,c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}$ và $a,\,b,\,c> 0$

[DOTOANNANG]

$$\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}+ \frac{b^{2}}{\sqrt{b^{2}+ c^{2}}}+ \frac{c^{2}}{\sqrt{c^{2}+ a^{2}}}\geqq \text{K}\geqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

với $\text{K}= a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}\,+\,b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}\,+\,c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}$ và $a,\,b,\,c> 0$

 

Chứng minh bất đẳng thức: $$a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}\,+\,b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}\,+\,c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}\geqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

Áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân, ta được: $a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}+ \frac{\sqrt{a\left ( a+ b \right )}}{2}\geqq \sqrt{2}\,a$, tương tự dẫn đến:

 

$$a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}+ b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}+ c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}+ \frac{\sqrt{a\left ( a+ b \right )}}{2}+ \frac{\sqrt{b\left ( b+ c \right )}}{2}+ \frac{\sqrt{c\left ( c+ a \right )}}{2}\geqq \sqrt{2}\left ( a+ b+ c \right )$$

 

Mặt khác: $\frac{\sqrt{a\left ( a+ b \right )}}{2}= \frac{3\,a+ b}{4\,\sqrt{2}}- \frac{\left ( a- b \right )^{2}}{4\,\sqrt{2}\left ( 3\,a+ b+ 2\,\sqrt{2}\,\sqrt{a\left ( a+ b \right )} \right )}\leqq \frac{3\,a+ b}{4\,\sqrt{2}}$, tương tự dẫn đến:

 

$$\frac{\sqrt{a\left ( a+ b \right )}}{2}+ \frac{\sqrt{b\left ( b+ c \right )}}{2}+ \frac{\sqrt{c\left ( c+ a \right )}}{2}\leqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

Từ đó, ta có điều phải chứng minh!

[DOTOANNANG]

$a,\,b,\,c> 0,\,t\geqq i\geqq 1$, chứng minh:

 

$$a\,\sqrt{\frac{a^{t}}{a^{t}+ b^{t}}}+ b\,\sqrt{\frac{b^{t}}{b^{t}+ c^{t}}}+ c\,\sqrt{\frac{c^{t}}{c^{t}+ a^{t}}}\geqq a\,\sqrt{\frac{a^{i}}{a^{i}+ b^{i}}}+ b\,\sqrt{\frac{b^{i}}{b^{i}+ c^{i}}}+ c\,\sqrt{\frac{c^{i}}{c^{i}+ a^{i}}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 14-11-2018 - 17:34

[DOTOANNANG]

$$\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}+ \frac{b^{2}}{\sqrt{b^{2}+ c^{2}}}+ \frac{c^{2}}{\sqrt{c^{2}+ a^{2}}}\geqq \text{K}\geqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

với $\text{K}= a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}\,+\,b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}\,+\,c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}$ và $a,\,b,\,c> 0$

{Bất đẳng thức Holder}

$$\left ( \sum\limits_{cyc}\,\,a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}} \right )^{2}\,\sum\limits_{cyc}\,\, \left ( a+ b \right )\geqq \left ( \sum\limits_{cyc}\,\,a \right )^{3}$$