Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 595 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 09-11-2018 - 21:36

Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức sau 

$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^2+a^2}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

 


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 13-11-2018 - 19:01

$$\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}+ \frac{b^{2}}{\sqrt{b^{2}+ c^{2}}}+ \frac{c^{2}}{\sqrt{c^{2}+ a^{2}}}\geqq \text{K}\geqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

với $\text{K}= a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}\,+\,b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}\,+\,c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}$ và $a,\,b,\,c> 0$



#3 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 13-11-2018 - 19:17

$$\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}+ \frac{b^{2}}{\sqrt{b^{2}+ c^{2}}}+ \frac{c^{2}}{\sqrt{c^{2}+ a^{2}}}\geqq \text{K}\geqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

với $\text{K}= a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}\,+\,b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}\,+\,c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}$ và $a,\,b,\,c> 0$

 

Chứng minh bất đẳng thức: $$a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}\,+\,b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}\,+\,c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}\geqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

Áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân, ta được: $a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}+ \frac{\sqrt{a\left ( a+ b \right )}}{2}\geqq \sqrt{2}\,a$, tương tự dẫn đến:

 

$$a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}+ b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}+ c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}+ \frac{\sqrt{a\left ( a+ b \right )}}{2}+ \frac{\sqrt{b\left ( b+ c \right )}}{2}+ \frac{\sqrt{c\left ( c+ a \right )}}{2}\geqq \sqrt{2}\left ( a+ b+ c \right )$$

 

Mặt khác: $\frac{\sqrt{a\left ( a+ b \right )}}{2}= \frac{3\,a+ b}{4\,\sqrt{2}}- \frac{\left ( a- b \right )^{2}}{4\,\sqrt{2}\left ( 3\,a+ b+ 2\,\sqrt{2}\,\sqrt{a\left ( a+ b \right )} \right )}\leqq \frac{3\,a+ b}{4\,\sqrt{2}}$, tương tự dẫn đến:

 

$$\frac{\sqrt{a\left ( a+ b \right )}}{2}+ \frac{\sqrt{b\left ( b+ c \right )}}{2}+ \frac{\sqrt{c\left ( c+ a \right )}}{2}\leqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

Từ đó, ta có điều phải chứng minh!



#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 13-11-2018 - 19:26

$a,\,b,\,c> 0,\,t\geqq i\geqq 1$, chứng minh:

 

$$a\,\sqrt{\frac{a^{t}}{a^{t}+ b^{t}}}+ b\,\sqrt{\frac{b^{t}}{b^{t}+ c^{t}}}+ c\,\sqrt{\frac{c^{t}}{c^{t}+ a^{t}}}\geqq a\,\sqrt{\frac{a^{i}}{a^{i}+ b^{i}}}+ b\,\sqrt{\frac{b^{i}}{b^{i}+ c^{i}}}+ c\,\sqrt{\frac{c^{i}}{c^{i}+ a^{i}}}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 14-11-2018 - 17:34


#5 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 16-11-2018 - 09:06

$$\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}+ \frac{b^{2}}{\sqrt{b^{2}+ c^{2}}}+ \frac{c^{2}}{\sqrt{c^{2}+ a^{2}}}\geqq \text{K}\geqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

với $\text{K}= a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}\,+\,b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}\,+\,c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}$ và $a,\,b,\,c> 0$

{Bất đẳng thức Holder}

$$\left ( \sum\limits_{cyc}\,\,a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}} \right )^{2}\,\sum\limits_{cyc}\,\, \left ( a+ b \right )\geqq \left ( \sum\limits_{cyc}\,\,a \right )^{3}$$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh