Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 09-11-2018 - 21:36

Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức sau 

$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^2+a^2}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

 


BLACKPINK IN YOUR AREA 


#2 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 13-11-2018 - 19:01

$$\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}+ \frac{b^{2}}{\sqrt{b^{2}+ c^{2}}}+ \frac{c^{2}}{\sqrt{c^{2}+ a^{2}}}\geqq \text{K}\geqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

với $\text{K}= a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}\,+\,b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}\,+\,c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}$ và $a,\,b,\,c> 0$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#3 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 13-11-2018 - 19:17

$$\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}+ \frac{b^{2}}{\sqrt{b^{2}+ c^{2}}}+ \frac{c^{2}}{\sqrt{c^{2}+ a^{2}}}\geqq \text{K}\geqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

với $\text{K}= a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}\,+\,b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}\,+\,c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}$ và $a,\,b,\,c> 0$

 

Chứng minh bất đẳng thức: $$a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}\,+\,b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}\,+\,c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}\geqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

Áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân, ta được: $a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}+ \frac{\sqrt{a\left ( a+ b \right )}}{2}\geqq \sqrt{2}\,a$, tương tự dẫn đến:

 

$$a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}+ b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}+ c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}+ \frac{\sqrt{a\left ( a+ b \right )}}{2}+ \frac{\sqrt{b\left ( b+ c \right )}}{2}+ \frac{\sqrt{c\left ( c+ a \right )}}{2}\geqq \sqrt{2}\left ( a+ b+ c \right )$$

 

Mặt khác: $\frac{\sqrt{a\left ( a+ b \right )}}{2}= \frac{3\,a+ b}{4\,\sqrt{2}}- \frac{\left ( a- b \right )^{2}}{4\,\sqrt{2}\left ( 3\,a+ b+ 2\,\sqrt{2}\,\sqrt{a\left ( a+ b \right )} \right )}\leqq \frac{3\,a+ b}{4\,\sqrt{2}}$, tương tự dẫn đến:

 

$$\frac{\sqrt{a\left ( a+ b \right )}}{2}+ \frac{\sqrt{b\left ( b+ c \right )}}{2}+ \frac{\sqrt{c\left ( c+ a \right )}}{2}\leqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

Từ đó, ta có điều phải chứng minh!


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 13-11-2018 - 19:26

$a,\,b,\,c> 0,\,t\geqq i\geqq 1$, chứng minh:

 

$$a\,\sqrt{\frac{a^{t}}{a^{t}+ b^{t}}}+ b\,\sqrt{\frac{b^{t}}{b^{t}+ c^{t}}}+ c\,\sqrt{\frac{c^{t}}{c^{t}+ a^{t}}}\geqq a\,\sqrt{\frac{a^{i}}{a^{i}+ b^{i}}}+ b\,\sqrt{\frac{b^{i}}{b^{i}+ c^{i}}}+ c\,\sqrt{\frac{c^{i}}{c^{i}+ a^{i}}}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 14-11-2018 - 17:34

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#5 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 16-11-2018 - 09:06

$$\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}+ \frac{b^{2}}{\sqrt{b^{2}+ c^{2}}}+ \frac{c^{2}}{\sqrt{c^{2}+ a^{2}}}\geqq \text{K}\geqq \frac{a+ b+ c}{\sqrt{2}}$$

 

với $\text{K}= a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}}\,+\,b\,\sqrt{\frac{b}{b+ c}}\,+\,c\,\sqrt{\frac{c}{c+ a}}$ và $a,\,b,\,c> 0$

{Bất đẳng thức Holder}

$$\left ( \sum\limits_{cyc}\,\,a\,\sqrt{\frac{a}{a+ b}} \right )^{2}\,\sum\limits_{cyc}\,\, \left ( a+ b \right )\geqq \left ( \sum\limits_{cyc}\,\,a \right )^{3}$$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh