Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a,b>0. CMR: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT A Hải Hậu

Đã gửi 11-11-2018 - 08:02

Cho a,b>0. CMR: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$



#2 anhtukhon1

anhtukhon1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K64-TN-KHMT-BKHN
  • Sở thích:dota

Đã gửi 11-11-2018 - 09:54

Cho a,b>0. CMR: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

$P=(t+1)\frac{1}{\sqrt{1+3t^{2}}}+(t+1)\frac{1}{\sqrt{t^{2}+3}}; t=\sqrt{\frac{b}{a}}$;

Đạo hàm là xong :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 11-11-2018 - 09:54


#3 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT A Hải Hậu

Đã gửi 11-11-2018 - 17:02

bạn có thể nói rõ hơn k, mình mới học lớp 9



#4 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT A Hải Hậu

Đã gửi 11-11-2018 - 17:03

$P=(t+1)\frac{1}{\sqrt{1+3t^{2}}}+(t+1)\frac{1}{\sqrt{t^{2}+3}}; t=\sqrt{\frac{b}{a}}$;

Đạo hàm là xong :D

bạn có thể nói rõ hơn k, mình mới học lớp 9 



#5 anhxuan911

anhxuan911

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-11-2018 - 17:35

Nhờ các bạn trợ giúp bài toán 
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x $\geq$ z chứng minh rằng:

$\frac{xy}{y^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}\geqslant \frac{5}{2}$



#6 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 14-11-2018 - 19:27

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+ b= 2\,u\\ ab= v^{2} \end{matrix}\right.\,\rightarrow \,u\geqq v$

$$\left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{a+ 3\,b}}+ \frac{1}{\sqrt{b+ 3\,a}} \right )\leqq 2$$

$$\Leftrightarrow \left ( a+ b+ 2\,\sqrt{ab} \right )\left [ \frac{4\left ( a+ b \right )+ 2\,\sqrt{10\,ab+ 3\,a^{2}+ 3\,b^{2}}}{10\,ab+ 3\,a^{2}+ 3\,b^{2}} \right ]\leqq 4$$

$$\Leftrightarrow \left ( u+ v \right )\left ( \frac{\sqrt{3\,u^{2}+ v^{2}}+ 2\,u}{3\,u^{2}+ v^{2}} \right )\leqq 1$$

$$\Leftrightarrow \left ( 3\,u^{2}+ v^{2} \right )\left ( u+ v \right )^{2}\leqq 4\left ( 2\,u^{2}- uv+ v^{2} \right )$$

$$\Leftrightarrow \left ( u- v \right )\left [ 8\,v^{3}+ \left ( u- v \right )\left ( 13\,u^{2}+ 4\,uv+ 11\,v^{2} \right ) \right ]\geqq 0$$

 

 


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#7 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 16-11-2018 - 09:28

$$\left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{a+ 3\,b}}+ \frac{1}{\sqrt{b+ 3\,a}} \right )\leqq 2 \,\Leftrightarrow\,2\,\sqrt{\left ( a+ 3\,b \right )\left ( b+ 3\,a \right )} \geqq \left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \sqrt{3\,a+ b}+ \sqrt{3\,b+ a} \right )$$

 

$$2\,\frac{\sqrt{\left ( a+ 3\,b \right )\left ( b+ 3\,a \right )}}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}} \geqq 2\,\sqrt{2\left ( a+ b \right )}\geqq \left ( \sqrt{3\,a+ b}+ \sqrt{3\,b+ a} \right )$$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#8 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 16-11-2018 - 17:10

$$\left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{a+ 3\,b}}+ \frac{1}{\sqrt{b+ 3\,a}} \right )\leqq 2 \,\Leftrightarrow\,2\,\sqrt{\left ( a+ 3\,b \right )\left ( b+ 3\,a \right )} \geqq \left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \sqrt{3\,a+ b}+ \sqrt{3\,b+ a} \right )$$

 

$$2\,\frac{\sqrt{\left ( a+ 3\,b \right )\left ( b+ 3\,a \right )}}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}} \geqq 2\,\sqrt{2\left ( a+ b \right )}\geqq \left ( \sqrt{3\,a+ b}+ \sqrt{3\,b+ a} \right )$$

 

$$\sqrt{\left ( a+ 3\,b \right )\left ( b+ 3\,a \right )}\geqq 3\left ( a+ b \right )+ 2\,\sqrt{ab}\geqq \sqrt{2\left ( a+ b \right )}\left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )$$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#9 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 16-11-2018 - 18:33

$$\sqrt{\left ( a+ 3\,b \right )\left ( b+ 3\,a \right )}\geqq_{\lfloor \,1\, \rceil} 3\left ( a+ b \right )+ 2\sqrt{ab}\geqq_{\lfloor \,2\, \rceil} \left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \sqrt{3\,a+ b}+ \sqrt{3\,b+ a} \right )$$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+ b= 2\,u\\ ab= v^{2} \end{matrix}\right.\,\rightarrow \,u\geqq v$

$\lfloor \,1\, \rceil\,\Leftrightarrow \,4\left ( 3\,u^{2}+ v^{2} \right )^{2}\geqq \left ( 3\,u+ v \right )^{2}\,\Leftrightarrow \,3\left ( u- v \right )^{2}\geqq 0$

$\lfloor \,2\, \rceil\,\Leftrightarrow \,\left ( 3\,u+ v \right )^{2}\geqq 2\left ( u+ v \right )\left ( 2\,u+ \sqrt{3\,u^{2}+ v^{2}} \right )\,$ $\Leftrightarrow \,\left [ \left ( 3\,u+ v \right )^{2}- 4\,u\left ( u+ v \right ) \right ]\geqq 4\left ( u+ v \right )^{2}\left ( 3\,u^{2}+ v^{2} \right )$ $\Leftrightarrow \left ( u- v \right )\left ( 13\,u^{3}+ 9\,u^{2}v+ 7\,uv^{2}+ 5\,v^{3} \right )\geqq 0$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#10 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 16-11-2018 - 18:44

$$\sqrt{\left ( 3\,a+ b \right )\left ( 3\,b+ a \right )}\geqq \sqrt{a\left ( a+ 3\,b \right )}+ \sqrt{b\left ( b+ 3\,a \right )}+ \text{T}_{\lfloor \,3\, \rceil}$$

 

với:

 

$\text{T}_{\lfloor \,4\, \rceil}= \frac{5}{8}\left ( a+ b- 2\,\sqrt{ab} \right )\leqq 0$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#11 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 16-11-2018 - 19:47

$-a+ 3\,b\,\,\geqq\, 0$

 

$$a+ 3\,b\,\,\geqq\, 2\,\cdot\,\frac{a}{a+ b}\,\,\sqrt{\,\,\frac{b\,\left ( -a+ 3\,b \right )}{2}\,\,}$$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#12 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT A Hải Hậu

Đã gửi 21-11-2018 - 19:24

Đặt A=..... Ta cần cm A<=2

$A=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+3a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+3a}}$

Với a,b>0 có:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}.\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b})$

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}=\frac{\sqrt{2b}}{\sqrt{a+3b}}.\frac{1}{\sqrt{2}}\leq \frac{1}{2}.(\frac{1}{2}+\frac{2b}{a+3b})$

Do đó $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{3}{2})$

Làm tương tự => đpcm



#13 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 26-05-2020 - 10:10

Cho $a,b>0.$ CMR: $$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leqq 2$$

Đặt $a=\frac{x^2}{z}, b=\frac{y^2}{z}$ thì $x,y,z>0$ ta đi đến chứng minh$:$

$$\Big(\frac{x}{\sqrt{z}} +\frac{y}{\sqrt{z}}\Big) \cdot \Big( \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x^2+3y^2}} +\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{3x^2+y^2}}\Big) \leqq 2$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2+3y^2}} +\frac{1}{\sqrt{3x^2 +y^2}}  \leqq \frac{2}{x+y}$$

Ta có$:$ $$\text{VT}^2 \leqq  ( \frac{1}{\sqrt{x^2+3y^2}} +\frac{1}{\sqrt{3x^2 +y^2}})^2 \leqq 2 (\frac{1}{x^2+3y^2}+\frac{1}{3x^2+y^2}) \leqq \frac{4}{(x+y)^2} \leqq \text{VP}^2$$

Bất đẳng thức $$2 (\frac{1}{x^2+3y^2}+\frac{1}{3x^2+y^2}) \leqq \frac{4}{(x+y)^2}$$ là đơn giản! (Bạn hãy tự chứng minh xem ;)!)



#14 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 970 Bài viết

Đã gửi 27-05-2020 - 09:50

Đặt $a=\frac{x^2}{z}, b=\frac{y^2}{z}$ thì $x,y,z>0$ ta đi đến chứng minh$:$
$$\Big(\frac{x}{\sqrt{z}} +\frac{y}{\sqrt{z}}\Big) \cdot \Big( \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x^2+3y^2}} +\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{3x^2+y^2}}\Big) \leqq 2$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2+3y^2}} +\frac{1}{\sqrt{3x^2 +y^2}} \leqq \frac{2}{x+y}$$
Ta có$:$ $$\text{VT}^2 \leqq ( \frac{1}{\sqrt{x^2+3y^2}} +\frac{1}{\sqrt{3x^2 +y^2}})^2 \leqq 2 (\frac{1}{x^2+3y^2}+\frac{1}{3x^2+y^2}) \leqq \frac{4}{(x+y)^2} \leqq \text{VP}^2$$
Bất đẳng thức $$2 (\frac{1}{x^2+3y^2}+\frac{1}{3x^2+y^2}) \leqq \frac{4}{(x+y)^2}$$ là đơn giản! (Bạn hãy tự chứng minh xem ;)!)

Chung minh bdt cuoi xem thu pan

#15 tthnew

tthnew

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 27-05-2020 - 09:54

Chung minh bdt cuoi xem thu pan

Ta có$:$ $$\frac{4}{(x+y)^2} -2(\frac{1}{x^2+3y^2}+\frac{1}{3x^2+y^2}) = \frac{4(x-y)^4}{(x+y)^2(3x^2+y^2)(x^2+3y^2)}$$

Có thế thôi mà bảo mình chứng minh làm gì:V



#16 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 970 Bài viết

Đã gửi 27-05-2020 - 09:58

Ta có$:$ $$\frac{4}{(x+y)^2} -2(\frac{1}{x^2+3y^2}+\frac{1}{3x^2+y^2}) = \frac{4(x-y)^4}{(x+y)^2(3x^2+y^2)(x^2+3y^2)}$$
Có thế thôi mà bảo mình chứng minh làm gì:V

Cam on pan nhe




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh