Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b>0. CMR: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Cho a,b>0. CMR: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$



#2
anhtukhon1

anhtukhon1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết

Cho a,b>0. CMR: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

$P=(t+1)\frac{1}{\sqrt{1+3t^{2}}}+(t+1)\frac{1}{\sqrt{t^{2}+3}}; t=\sqrt{\frac{b}{a}}$;

Đạo hàm là xong :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 11-11-2018 - 09:54


#3
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

bạn có thể nói rõ hơn k, mình mới học lớp 9



#4
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

$P=(t+1)\frac{1}{\sqrt{1+3t^{2}}}+(t+1)\frac{1}{\sqrt{t^{2}+3}}; t=\sqrt{\frac{b}{a}}$;

Đạo hàm là xong :D

bạn có thể nói rõ hơn k, mình mới học lớp 9 



#5
anhxuan911

anhxuan911

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Nhờ các bạn trợ giúp bài toán 
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x $\geq$ z chứng minh rằng:

$\frac{xy}{y^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}\geqslant \frac{5}{2}$



#6
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+ b= 2\,u\\ ab= v^{2} \end{matrix}\right.\,\rightarrow \,u\geqq v$

$$\left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{a+ 3\,b}}+ \frac{1}{\sqrt{b+ 3\,a}} \right )\leqq 2$$

$$\Leftrightarrow \left ( a+ b+ 2\,\sqrt{ab} \right )\left [ \frac{4\left ( a+ b \right )+ 2\,\sqrt{10\,ab+ 3\,a^{2}+ 3\,b^{2}}}{10\,ab+ 3\,a^{2}+ 3\,b^{2}} \right ]\leqq 4$$

$$\Leftrightarrow \left ( u+ v \right )\left ( \frac{\sqrt{3\,u^{2}+ v^{2}}+ 2\,u}{3\,u^{2}+ v^{2}} \right )\leqq 1$$

$$\Leftrightarrow \left ( 3\,u^{2}+ v^{2} \right )\left ( u+ v \right )^{2}\leqq 4\left ( 2\,u^{2}- uv+ v^{2} \right )$$

$$\Leftrightarrow \left ( u- v \right )\left [ 8\,v^{3}+ \left ( u- v \right )\left ( 13\,u^{2}+ 4\,uv+ 11\,v^{2} \right ) \right ]\geqq 0$$

 

 



#7
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$$\left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{a+ 3\,b}}+ \frac{1}{\sqrt{b+ 3\,a}} \right )\leqq 2 \,\Leftrightarrow\,2\,\sqrt{\left ( a+ 3\,b \right )\left ( b+ 3\,a \right )} \geqq \left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \sqrt{3\,a+ b}+ \sqrt{3\,b+ a} \right )$$

 

$$2\,\frac{\sqrt{\left ( a+ 3\,b \right )\left ( b+ 3\,a \right )}}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}} \geqq 2\,\sqrt{2\left ( a+ b \right )}\geqq \left ( \sqrt{3\,a+ b}+ \sqrt{3\,b+ a} \right )$$



#8
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$$\left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{a+ 3\,b}}+ \frac{1}{\sqrt{b+ 3\,a}} \right )\leqq 2 \,\Leftrightarrow\,2\,\sqrt{\left ( a+ 3\,b \right )\left ( b+ 3\,a \right )} \geqq \left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \sqrt{3\,a+ b}+ \sqrt{3\,b+ a} \right )$$

 

$$2\,\frac{\sqrt{\left ( a+ 3\,b \right )\left ( b+ 3\,a \right )}}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}} \geqq 2\,\sqrt{2\left ( a+ b \right )}\geqq \left ( \sqrt{3\,a+ b}+ \sqrt{3\,b+ a} \right )$$

 

$$\sqrt{\left ( a+ 3\,b \right )\left ( b+ 3\,a \right )}\geqq 3\left ( a+ b \right )+ 2\,\sqrt{ab}\geqq \sqrt{2\left ( a+ b \right )}\left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )$$



#9
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$$\sqrt{\left ( a+ 3\,b \right )\left ( b+ 3\,a \right )}\geqq_{\lfloor \,1\, \rceil} 3\left ( a+ b \right )+ 2\sqrt{ab}\geqq_{\lfloor \,2\, \rceil} \left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \sqrt{3\,a+ b}+ \sqrt{3\,b+ a} \right )$$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+ b= 2\,u\\ ab= v^{2} \end{matrix}\right.\,\rightarrow \,u\geqq v$

$\lfloor \,1\, \rceil\,\Leftrightarrow \,4\left ( 3\,u^{2}+ v^{2} \right )^{2}\geqq \left ( 3\,u+ v \right )^{2}\,\Leftrightarrow \,3\left ( u- v \right )^{2}\geqq 0$

$\lfloor \,2\, \rceil\,\Leftrightarrow \,\left ( 3\,u+ v \right )^{2}\geqq 2\left ( u+ v \right )\left ( 2\,u+ \sqrt{3\,u^{2}+ v^{2}} \right )\,$ $\Leftrightarrow \,\left [ \left ( 3\,u+ v \right )^{2}- 4\,u\left ( u+ v \right ) \right ]\geqq 4\left ( u+ v \right )^{2}\left ( 3\,u^{2}+ v^{2} \right )$ $\Leftrightarrow \left ( u- v \right )\left ( 13\,u^{3}+ 9\,u^{2}v+ 7\,uv^{2}+ 5\,v^{3} \right )\geqq 0$



#10
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$$\sqrt{\left ( 3\,a+ b \right )\left ( 3\,b+ a \right )}\geqq \sqrt{a\left ( a+ 3\,b \right )}+ \sqrt{b\left ( b+ 3\,a \right )}+ \text{T}_{\lfloor \,3\, \rceil}$$

 

với:

 

$\text{T}_{\lfloor \,4\, \rceil}= \frac{5}{8}\left ( a+ b- 2\,\sqrt{ab} \right )\leqq 0$



#11
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$-a+ 3\,b\,\,\geqq\, 0$

 

$$a+ 3\,b\,\,\geqq\, 2\,\cdot\,\frac{a}{a+ b}\,\,\sqrt{\,\,\frac{b\,\left ( -a+ 3\,b \right )}{2}\,\,}$$



#12
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Đặt A=..... Ta cần cm A<=2

$A=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+3a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+3a}}$

Với a,b>0 có:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}.\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b})$

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}=\frac{\sqrt{2b}}{\sqrt{a+3b}}.\frac{1}{\sqrt{2}}\leq \frac{1}{2}.(\frac{1}{2}+\frac{2b}{a+3b})$

Do đó $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{3}{2})$

Làm tương tự => đpcm






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh