Chủ đề này có 7 trả lời

[ThinhThinh123]

Đề Thi HSG Quận Hà Đông 2018-2019

 

Hình gửi kèm

• 

[ThuanTri]

4/

1.Dễ dàng chứng minh được $\Delta AED \sim \Delta ABC$

Ta có $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\frac{AD^2}{AC^2}.\frac{AH^2}{AH^2}=sin^2B.sin^2C$

2.Ta có $\frac{DE}{BC}=sinB.sinC$(suy ra từ câu trước) 

   Kẻ BF, CK lần lượt là 2 đường cao của $\Delta ABC$

     $\Leftrightarrow DE= sinB.sinC.BC$

    $\Leftrightarrow 2DE=2sinB.sinC.BC$

                      $=sinB.sinC.BC+sinB.sinC.BC$                               

                      $=KC.sinC+BF.sinB$

                      $=\frac{AH.BF}{AB}+\frac{AH.KC}{AC}$

                      $=2AH.sinA$  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuanTri: 11-11-2018 - 21:04

[ThuanTri]

4/

3.Giả sử tam giác ABC đều thì ta có đpcm

   Tam giác ABC không đều, xét $\widehat{B} < 60^0$ 

Vẽ đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt AB, AC tại M,N.

   Từ B vẽ đường thẳng song song với MN cắt AC tại D.

   Dễ dàng chứng minh được $\Delta AMN$ và $\Delta ABD$ là  tam giác đều có AI là trục đối xứng.

Ta có $\frac{AI}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\frac{\sqrt{3}}{AI}=\frac{2}{AM}$

Cần chứng minh $\frac{1}{AB} + \frac{1}{AC} = \frac{2}{AM} = \frac{2}{AN}$

Ta có $\frac{AB}{BI}=\frac{AC}{CI} \Leftrightarrow AB= \frac{BI.AC}{CI}$

Nên   $\frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}= \frac{CI}{BI.AC}+\frac{1}{AC} = \frac{BC}{BI.AC}$

Mà    $\frac{BC}{BI}=\frac{DC}{DN}$ nên ta có $\frac{BC}{BI.AC}=\frac{DC}{DN.AC}$

Suy ra cần chứng minh: $\frac{DC}{DN.AC}=\frac{2}{AM}$

                                    $\Leftrightarrow DC.AM=2.DN.AC$

Mặt khác, ta có $\widehat{CIN}=\widehat{DIN} \Rightarrow $3.3.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuanTri: 12-11-2018 - 21:34

[ThinhThinh123]

Bài 4:

3,

Áp dụng định lý cosin. Ta có:

$IC^2=AI^2+AC^2- 2.cos \widehat{A}.AI.AC=IC^2=AI^2+AC^2- 2.cos60^{\circ}.AI.AC$

$IC^2=AI^2+AC^2- \sqrt{3}.AI.AC (1)$

Tương tự CM được:

$IB^2=AI^2+AB^2- \sqrt{3}.AI.AB (2)$

Từ (1) và (2) Suy ra:

$ (\frac{IB}{IC})^2= \frac{AI^2+AB^2-\sqrt{3}.AI.AB}{AI^2+AC^2- \sqrt{3}.AI.AC}$

$ <=> \frac{AB^2}{AC^2}= \frac{AI^2+AB^2-\sqrt{3}.AI.AB}{AI^2+AC^2- \sqrt{3}.AI.AC}$

$ <=> AB^2.(AI^2+AC^2- \sqrt{3}.AI.AC)=AC^2.(AI^2+AB^2-\sqrt{3}.AI.AB)$

$...=> (AB+AC).AI= \sqrt{3}.AB.AC<=> \frac{ \sqrt{3}}{AI}= \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

Suy ra ĐPCM.

 

[minh8x]

Ý 1 bài 3 làm thế nào nhỉ các bạn

[Callmebop]

 

$\sum \sqrt{\binom{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}} =\binom{ab+2c^{2}}{\sqrt{1+ab-c^{2}}\sqrt{ab+2c^{2}}} \geq \binom{2(ab+2c^{2})}{1+ab - c^{2} +ab + 2c^{2}} \geq \binom{2ab+4c^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+ c^{2})}= ab +2c^{2} \rightarrow tt \rightarrow dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Callmebop: 25-11-2018 - 20:02

[Callmebop]

$$\sum \sqrt{\binom{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}} =\binom{ab+2c^{2}}{\sqrt{1+ab-c^{2}}\sqrt{ab+2c^{2}}} \geq \binom{2(ab+2c^{2})}{1+ab - c^{2} +ab + 2c^{2}} \geq \binom{2ab+4c^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+ c^{2})}= ab +2c^{2$

[Callmebop]

Đánh xong rồi ấn đâu vậy mọi người )