Chủ đề này có 4 trả lời

[bangvoip673]

cho a,b,c>0

CMR:$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}$$\geq$1

[Hero Crab]

Ta có:
$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+\left ( b+c \right )^{3}}}=\sqrt{\frac{a^{4}}{\left ( a^{2}+ab+ac \right )\left ( a^{2}-a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^{2}\right ) }}$

Áp dụng BĐT Cauchy

$\sqrt{\frac{a^{4}}{\left ( a^{2}+ab+ac \right )\left ( a^{2}-a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^{2}\right ) }}\geqslant \frac{2a^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}$

Mà $2bc \leqslant b^{2}+c^{2}$ 

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+\left ( b+c \right )^{3}}}\geqslant \frac{a^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

CMTT ta cũng có: $\sqrt{\frac{b^{3}}{b^{3}+\left ( a+c \right )^{3}}}\geqslant \frac{b^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} ; \sqrt{\frac{c^{3}}{c^{3}+\left ( a+b \right )^{3}}}\geqslant \frac{c^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cộng vế lại ta có ĐPCM. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

[Bactholoc1]

$n\geq3(n\in N); a,b,c >0 ; abc=1 : CMR : \frac{1}{a^n(b+c)}+\frac{1}{b^n(c+a)}+\frac{1}{c^n(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bactholoc1: 25-11-2018 - 21:41

[bangvoip673]

$n\geq3(n\in N); a,b,c >0 : CMR : \frac{1}{a^n(b+c)}+\frac{1}{b^n(c+a)}+\frac{1}{c^n(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

đề sai ko bạn? a=b=c=2 thì sao

[luuvanthai]

Với x>=0 có:

$\sqrt{1+x^{3}}=\sqrt{(1+x)(1-x+x^{2})}\leq \frac{1+x+1-x+x^{2}}{2}=1+\frac{x^{2}}{2}$

Áp dụng có:$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\doteq \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{b+c}{a})^{3}}}\geq \frac{1}{1+\frac{1}{2}(\frac{b+c}{a})^{2}}\geq \frac{1}{1+\frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}}}=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cmtt... => đpcm