Chủ đề này có 2 trả lời

[Kim Shiny]

Cho x,y,z >0 thỏa mãn :

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

CM: $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

[vmf999]

tương đương 

[Hero Crab]

Từ giả thiết ta có $xy+yz+zx=xyz$

Áp dụng bđt cauchy cho 2 số y,z dương ta có: 

$y+z \geqslant 2 \sqrt{yz}$

$\Rightarrow x(y+z) \geqslant 2 x\sqrt{yz}$

$\Rightarrow  xy+yz+zx=xyz\geqslant 2x\sqrt{yz}+yz$

$\Leftrightarrow x\left(yz+x\right)\geqslant \left ( x+\sqrt{yz} \right )^{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{yz+x}\geqslant \sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}$

CMMT ta cũng có: $\sqrt{y+xz}\geqslant \sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}};\sqrt{z+xy}\geqslant \sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}$

Cộng theo vế lại ta có : $\sum \sqrt{x+yz}\geqslant \sum \sqrt{x}+\sum \sqrt{\frac{yz}{x}}$

$\Leftrightarrow \sum \sqrt{x+yz}\geqslant \sum \sqrt{x}+\sqrt{xyz}$ (Vì $xy+yz+zx=xyz$)

Dấu "=" khi x=y=z