Cho dãy $(x_n)$ được xác định bởi
$x_1=a \, (0<a<1)$
$x_{n+1}=2x_n-x_n^3$.
Chứng minh $(x_n)$ hội tụ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 14-01-2023 - 20:53
Tiêu đề & LaTeX
#1
Đã gửi 13-11-2018 - 09:05
Khoa Linh
-
- Thành viên
-
- 601 Bài viết
Thiếu úy
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
#2
Đã gửi 26-11-2018 - 23:35
Tea Coffee
-
- Điều hành viên THPT
-
- 772 Bài viết
Trung úy
Tìm công thức tổng quát của $x_{n}$ sau đó tính $lim$ 
Đó là lý thuyết
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#3
Đã gửi 14-01-2023 - 16:53
Ruka
-
- Thành viên
-
- 153 Bài viết
Trung sĩ
Cho dãy $(x_n)$ được xác định bởi
$x_1=a$ $(0<a<1)$
$x_{n+1}=2x_n-x_n^3$.
Chứng minh $(x_n)$ hội tụ
Xét hiệu $\large{x_{n+1} - x_n = 2x_n - x_n^3 - x_n = x_n - x_n^3}$
Mà do $x_1 = a$ và $0 < a < 1$ nên $x_n > x_n^3$
Từ đó suy ra $x_n - x_n^3 > 0$ hay $\large{x_{n+1} > x_n}$
$\to (x_n)$ tăng
Đặt $lim x_n = t (t \ge 1)$
Lấy giới hạn $2$ vế ta được
$\large{t = 2t - t^3}$
$\large{\to t - t^3 = 0}$
$\large{\to t(1-t^2)=0}$
$\large{\to \left[\begin{matrix} t =0 \\ t = 1(\text{accept}) \\ t = -1\end{matrix}\right.}$
$\large{\to lim x_n = 1}$
Từ đó suy ra được dãy $(x_n)$ hội tụ tại $1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 14-01-2023 - 16:53
- perfectstrong yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
