Chủ đề này có 2 trả lời

[Thong Nhat]

Cho a, b, c không âm thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng $\sqrt{a+b^2}+\sqrt{b+c^2}+\sqrt{c+a^2}\geq 2$

 

[DOTOANNANG]

Sử dụng bất đẳng thức $\lceil$ Karamat(a) $\rfloor$, ta có:

$$\sqrt{a+ b^{2}}+ \sqrt{b+ c^{2}}+ \sqrt{c+ a^{2}}\geqq \sqrt{\left ( a+ b \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( b+ c \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( c+ a \right )^{2}}$$

với: $\sum\limits_{cyc}\,\left ( \,a+ b^{2}\, \right ) = \sum\limits_{cyc}\,\left [ \,a\sum a+ b^{2} \right ]= \sum\limits_{cyc}\,\left ( \,a+ b \right )^{2}$

và: $\left [ a+ b^{2},\,b+ c^{2},\,c+ a^{2} \right ]\,\prec \,\left [ \left ( a+ b \right )^{2},\,\left ( b+ c \right )^{2},\,\left ( c+ a \right )^{2} \right ]\,\,\lceil \,\text{yvy}\,\rfloor$

Thật vậy! $\lceil \,\text{yvy}\,\rfloor$ cần chứng minh tương đương với: $$\{\begin{array}{ll} \,\,\,\,\min\left \{ a+ b^{2},\,b+ c^{2},\,c+ a^{2} \right \}\geqq \min\left \{ \left ( a+ b \right )^{2},\,\left ( b+ c \right )^{2},\,\left ( c+ a \right )^{2} \right \}\,\,\lceil \,\text{xvy}\,\rfloor\\ \\ \,\,\,\,\max\left \{ a+ b^{2},\,b+ c^{2},\,c+ a^{2} \right \}\leqq \max\left \{ \left ( a+ b \right )^{2},\,\left ( b+ c \right )^{2},\,\left ( c+ a \right )^{2} \right \}\,\,\lceil \,\text{zvy}\,\rfloor \end{array}$$

Không mất tính tổng quát trong chứng minh, ta giả sử: $a= \max \left \{ \,a,\,b,\,c\, \right \}$. Khi đó:
$\,\,\lceil \,\text{xvy}\,\rfloor \Leftrightarrow a+ b^{2}\geqq b+ c^{2}\geqq \min\left \{ \,a+ b^{2},\,b+ c^{2},\,c+ a^{2}\, \right \}= \min\left \{ \,b+ c^{2},\,c+ a^{2}\, \right \}\geqq \left ( b+ c \right )^{2}$

Đúng do: $a+ b^{2}- b- c= c\left ( a- b \right )+ a^{2}- c^{2}\geqq 0$
$$b+ c^{2}- \left ( b+ c \right )^{2}= b\left ( a+ b+ c \right )- \left ( b+ c \right )^{2}= b\left ( a- c \right )\geqq 0$$

Không mất tính tổng quát trong chứng minh, ta giả sử: $a= \min \left \{ \,a,\,b,\,c\, \right \}$. Khi đó:
$\,\,\lceil \,\text{zvy}\,\rfloor \Leftrightarrow a+ b^{2}\leqq b+ c^{2}\leqq \max \left \{ \,b+ c^{2},\,c+ a^{2} \right \}\leqq \left ( b+ c \right )^{2}\leqq \max \left \{ \,\left ( a+ b \right )^{2},\,\left ( b+ c \right )^{2},\,\left ( c+ a \right )^{2} \right \}$

Đúng do: $$c+ a^{2}- \left ( b+ c \right )^{2}= a- b\geqq 0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 18-11-2018 - 07:21

[DOTOANNANG]

Sử dụng bất đẳng thức $\lceil$ Karamat(a) $\rfloor$, ta có:

$$\sqrt{a+ b^{2}}+ \sqrt{b+ c^{2}}+ \sqrt{c+ a^{2}}\geqq \sqrt{\left ( a+ b \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( b+ c \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( c+ a \right )^{2}}$$

với: $\sum\limits_{cyc}\,\left ( \,a+ b^{2}\, \right ) = \sum\limits_{cyc}\,\left [ \,a\sum a+ b^{2} \right ]= \sum\limits_{cyc}\,\left ( \,a+ b \right )^{2}$

và: $\left [ a+ b^{2},\,b+ c^{2},\,c+ a^{2} \right ]\,\prec \,\left [ \left ( a+ b \right )^{2},\,\left ( b+ c \right )^{2},\,\left ( c+ a \right )^{2} \right ]\,\,\lceil \,\text{yvy}\,\rfloor$

Thật vậy! $\lceil \,\text{yvy}\,\rfloor$ cần chứng minh tương đương với: $$\{\begin{array}{ll} \,\,\,\,\min\left \{ a+ b^{2},\,b+ c^{2},\,c+ a^{2} \right \}\geqq \min\left \{ \left ( a+ b \right )^{2},\,\left ( b+ c \right )^{2},\,\left ( c+ a \right )^{2} \right \}\,\,\lceil \,\text{xvy}\,\rfloor\\ \\ \,\,\,\,\max\left \{ a+ b^{2},\,b+ c^{2},\,c+ a^{2} \right \}\leqq \max\left \{ \left ( a+ b \right )^{2},\,\left ( b+ c \right )^{2},\,\left ( c+ a \right )^{2} \right \}\,\,\lceil \,\text{zvy}\,\rfloor \end{array}$$

Không mất tính tổng quát trong chứng minh, ta giả sử: $a= \max \left \{ \,a,\,b,\,c\, \right \}$. Khi đó:
$\,\,\lceil \,\text{xvy}\,\rfloor \Leftrightarrow a+ b^{2}\geqq b+ c^{2}\geqq \min\left \{ \,a+ b^{2},\,b+ c^{2},\,c+ a^{2}\, \right \}= \min\left \{ \,b+ c^{2},\,c+ a^{2}\, \right \}\geqq \left ( b+ c \right )^{2}$

Đúng do: $a+ b^{2}- b- c= c\left ( a- b \right )+ a^{2}- c^{2}\geqq 0$
$$b+ c^{2}- \left ( b+ c \right )^{2}= b\left ( a+ b+ c \right )- \left ( b+ c \right )^{2}= b\left ( a- c \right )\geqq 0$$

Không mất tính tổng quát trong chứng minh, ta giả sử: $a= \min \left \{ \,a,\,b,\,c\, \right \}$. Khi đó:
$\,\,\lceil \,\text{zvy}\,\rfloor \Leftrightarrow a+ b^{2}\leqq b+ c^{2}\leqq \max \left \{ \,b+ c^{2},\,c+ a^{2} \right \}\leqq \left ( b+ c \right )^{2}\leqq \max \left \{ \,\left ( a+ b \right )^{2},\,\left ( b+ c \right )^{2},\,\left ( c+ a \right )^{2} \right \}$

Đúng do: $$c+ a^{2}- \left ( b+ c \right )^{2}= a- b\geqq 0$$

 

$$\sqrt{a+ b^{2}}+ \sqrt{b+ c^{2}}+ \sqrt{c+ a^{2}}\leqq k< \frac{50}{23}\approx 2.\,1739130$$