b) Thay $x=0$ ta có $f$ là hàm toàn ánh.
Thay $x=t$ và $x=-t$ để có $f$ là hàm lẻ.
Ta cũng dễ dàng chứng minh được $f$ là đơn ánh bằng cách giả sử tồn tại 2 số $a$ và $b$ sao cho $f(a)=f(b)$.
Thay $x=y=0$ ta có $f(0)=0$.
Với $y=0$, ta có $f(x^2)=\frac{1}{2}f(x)^2$ (1)
Vì thế với $y = -t$ ta được $f(x^2+f(-t))=f(x^2-f(t))=-4t+\frac{1}{2}f^2(x) = -4t +f(-x^2)$
$\Rightarrow f(-x^2+f(t)) = 4t+f(x^2)$
Do đó với mọi $x, y \in \mathbb R$ : $f(x+f(y)) = 4y+f(x) = f(f(y))+f(x)$ , nên đặt $t= f(y)$ ta sẽ có: $f(x+t)=f(x)+f(t)$
Ta có đây là hàm Cauchy quen thuộc, nhưng ta hãy để ý điều sau:
Nếu ta thay $x$ bởi $\sqrt{x}$, với $x\geq 0$, ta sẽ có $f(x)=\frac{1}{2}f(\sqrt{x})^2 \geq 0$
Do đó $f(x)$ sẽ không có giá trị ở phần tư thứ hai (theo chiều kim đồng hồ) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Vì vậy, ta sẽ có một kết quả từ hàm Cauchy là $f(x)$ là hàm tuyến tính và liên tục. Thay lại vào hàm đề bài ta có một kết quả duy nhất là $\boxed{f(x)\equiv 2x}$.
Thử lại thấy đúng với mọi $x \in\mathbb R$