Chủ đề này có 1 trả lời

[TuAnh1611]

Bài 1: Cho khai triển: $(1+x+x^2+x^3+...+x^{10})^{11} = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+...+a_{110}x^{110}$

Tính giá trị biểu thức $A=C_{11}^{0}a_{0}-C_{11}^{1}a_{1}+C_{11}^{2}a_{2}-C_{11}^{3}a_{3}+...+C_{11}^{10}a_{10}-C_{11}^{11}a_{11}$

Bài 2: Xét khai triển: $(1+x)(1+2x)...(1+2013x)= a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+...+a_{2013}x^{2013}$

Tính giá trị biểu thức $B=a_{2}+ \frac{1}{2}(1^2+2^2+...+2013^2)$

[dottoantap]

Bài 1: Cho khai triển: $(1+x+x^2+x^3+...+x^{10})^{11} = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+...+a_{110}x^{110}$

Tính giá trị biểu thức $A=C_{11}^{0}a_{0}-C_{11}^{1}a_{1}+C_{11}^{2}a_{2}-C_{11}^{3}a_{3}+...+C_{11}^{10}a_{10}-C_{11}^{11}a_{11}$

Bài 2: Xét khai triển: $(1+x)(1+2x)...(1+2013x)= a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+...+a_{2013}x^{2013}$

Tính giá trị biểu thức $B=a_{2}+ \frac{1}{2}(1^2+2^2+...+2013^2)$

Bài 1: Đẳng thức đã cho tương đương với:

$\left ( \frac{x^{11}-1}{x-1} \right )^{11}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+...+a_{110}x^{110}$

$\Leftrightarrow \left ( x^{11}-1 \right )^{11}=\left ( x-1 \right )^{11}\left (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+...+a_{110}x^{110}\right )$    $(1)$

Từ vế trái của $(1)$:

$\left ( x^{11}-1 \right )^{11}=\sum_{k=0}^{11}\left ( -1 \right )^{k}C_{11}^{k}x^{11\left ( 11-k \right )}$

thì với $k=10$ , ta được số hạng chứa  $x^{11}$ là $C_{11}^{10}.x^{11}$.

Khai triển vế phải của $(1)$:

$\left ( \sum_{k=0}^{11}\left ( -1 \right )^{k}C_{11}^{k}x^{\left ( 11-k \right )} \right )\left ( a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+a_{3}x^3+...+a_{110}x^{110} \right )$

ta được số hạng chứa  $x^{11}$ là $\left ( C_{11}^{0}. a_{0}-C_{11}^{1}. a_{1}+C_{11}^{2}. a_{2}-...+C_{11}^{10}. a_{10}-C_{11}^{11}. a_{11}\right )x^{11}$

Đồng nhất hệ số ta được:

$A=C_{11}^{0}. a_{0}-C_{11}^{1}. a_{1}+C_{11}^{2}. a_{2}-...+C_{11}^{10}. a_{10}-C_{11}^{11}. a_{11}=C_{11}^{10}=11$

 

Bài 2: Đặt lần lượt vế trái, vế phải đẳng thức đã cho là $L(x), R(x)$ ta thấy:

$R'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^2+...$, $R"(x)=2a_{2}+2.3a_{3}x+...$

Đạo hàm vế trái:

$L'(x)=(1 + 2x)...(1 + 2013x) + 2(1 + x)(1 + 3x)...(1 + 2013x) + ... + 2013(1 + x)...(1 + 2012x)$

Xét:

$L_{1}(x) = (1 + 2x)...(1 + 2013x)$

$ L'_{1}(x) = 2(1 + 3x)...(1 + 2013x) + ... + 2013(1 + 2x)...(1 + 2012x)$

có hệ số tự do là $(2 + 3 + 4 + ... + 2013)$

Tương tự:

$L_{2}(x) = 2(1 + x)(1 + 3x)...(1 + 2013x)$ thì $L'_{2}(x)$ có hệ số tự do là $2(1 + 3 + ... + 2013)$

......................................

$L_{2013}(x) = 2013(1 + x)...(1 + 2012x)$  thì $L'_{2013}(x)$ có hệ số tự do là  $2013(1 + 2 + ... + 2012)$

Như vậy, tổng hệ số tự do là $2a_{2}$:

$2a_{2}=1(2 + 3 + ... 2013) + 2(1 + 3 +... + 2013) + .. .+ 2013(1 + ... + 2012)=1(1 + 2 + ... + 2013) + 2(1 + 2 +. ..+ 2013) + ... + 2013(1 + ... + 2013) - (1^2 + 2^2 + ... + 2013^2)= (1 + 2 + ... + 2013)^2 - (1^2 + 2^2 + .. .+ 2013^2)$

$2a_{2}=\frac{2013^{2}.2014^{2}}{4}-(1^2 + 2^2 + ... + 2013^2)$

$a_{2}=\frac{2013^{2}.1007^{2}}{2}-\frac{1}{2}(1^2 + 2^2 + ... + 2013^2)$

Vậy:

$B=\frac{2013^{2}.1007^{2}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 15-11-2018 - 14:45