Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 9 và a2 + b2 + c2 +d2 = 27 sao cho d đạt giá trị lớn nhất
Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 9 và a2 + b2 + c2 +d2 = 27 sao cho d đạt giá trị lớn nhất
#1
Đã gửi 17-11-2018 - 22:30
#2
Đã gửi 18-11-2018 - 10:27
Do vai trò của $a,\,b,\,c,\,d$ như nhau nên không mất tính tổng quát trong chứng minh, ta giả sử $d= \max \left \{ a,\,b,\,c,\,d \right \}\,\,\Rightarrow \,\,3\,\sqrt{3}\geqq d\geqq \frac{9}{4}$ do ta phải tìm $d_{\max}$
Ta có: $$\{\begin{array}{ll} \,\,a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= 27- d^{2}\\ \\ \,\,a+ b+ c= 9- d \end{array}\,\,\rightarrow \,\,ab+ bc+ ca= \frac{\left ( 9- d \right )^{2}- \left ( 27- d^{\,2} \right )}{2}$$
Ta đặt:
$$\{\begin{array}{ll}a+ b+ c= u\\ \\ ab+ bc+ ca= w \end{array}\,\,\rightarrow u\geqq 9- 3\,\sqrt{3}> 3$$
Mặt khác: $$\left (= d^{\,2}= \right )\,\,\,\,\, \left ( 9- u \right )^{2}= 27- \left ( u^{2}- 2\,w \right )\,\,\Leftrightarrow \,\, \left ( u- 3 \right )\left ( u- 6 \right )+ \left ( 9- w \right )= 0$$
Khi đó hoặc $u\geqq 6$ hoặc $w\leqq 9$, ta thấy với $u\geqq 6\,\,\Rightarrow d= 9- u\leqq 3$, còn với $w\leqq 9$, ta có:
$9\geqq w= \lceil\,\,\frac{\left ( 9- d \right )^{2}- \left ( 27- d^{\,2} \right )}{2}\,\,\rfloor= 9+ \left ( d- 6 \right )\left ( d- 3 \right )\,\,\rightarrow \,\,d\leqq 3$
- thanhdatqv2003 yêu thích
#3
Đã gửi 23-11-2018 - 20:59
Từ gt $\Rightarrow 9-d=a+b+c \wedge 27-d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Áp dụng bđt phụ $ 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geqslant \left ( a+b+c \right )^{2}$
$\Rightarrow 3\left(27-d^{2}\right)\geqslant \left(9-d\right)^{2}$
Võ Sĩ Cua
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh