Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 9 và a2 + b2 + c2 +d2 = 27 sao cho d đạt giá trị lớn nhất

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
hanguyen225

hanguyen225

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết

Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 9 và a2 + b+ c+d= 27 sao cho d đạt giá trị lớn nhất



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Do vai trò của $a,\,b,\,c,\,d$ như nhau nên không mất tính tổng quát trong chứng minh, ta giả sử $d= \max \left \{ a,\,b,\,c,\,d \right \}\,\,\Rightarrow \,\,3\,\sqrt{3}\geqq d\geqq \frac{9}{4}$ do ta phải tìm $d_{\max}$

 

Ta có: $$\{\begin{array}{ll} \,\,a^{2}+ b^{2}+ c^{2}= 27- d^{2}\\ \\ \,\,a+ b+ c= 9- d \end{array}\,\,\rightarrow \,\,ab+ bc+ ca= \frac{\left ( 9- d \right )^{2}- \left ( 27- d^{\,2} \right )}{2}$$

 

Ta đặt: 

 

$$\{\begin{array}{ll}a+ b+ c= u\\ \\ ab+ bc+ ca= w \end{array}\,\,\rightarrow u\geqq 9- 3\,\sqrt{3}> 3$$

 

Mặt khác: $$\left (= d^{\,2}= \right )\,\,\,\,\, \left ( 9- u \right )^{2}= 27- \left ( u^{2}- 2\,w \right )\,\,\Leftrightarrow \,\, \left ( u- 3 \right )\left ( u- 6 \right )+ \left ( 9- w \right )= 0$$

Khi đó hoặc $u\geqq 6$ hoặc $w\leqq 9$, ta thấy với $u\geqq 6\,\,\Rightarrow d= 9- u\leqq 3$, còn với $w\leqq 9$, ta có:

 

$9\geqq w= \lceil\,\,\frac{\left ( 9- d \right )^{2}- \left ( 27- d^{\,2} \right )}{2}\,\,\rfloor= 9+ \left ( d- 6 \right )\left ( d- 3 \right )\,\,\rightarrow \,\,d\leqq 3$

 

 



#3
Hero Crab

Hero Crab

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Từ gt $\Rightarrow 9-d=a+b+c \wedge 27-d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Áp dụng bđt phụ $ 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geqslant \left ( a+b+c \right )^{2}$

$\Rightarrow 3\left(27-d^{2}\right)\geqslant \left(9-d\right)^{2}$

$\Leftrightarrow 4d^{2}-18d \leqslant0$
$\Leftrightarrow d\left(2d-9\right)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow 0 \leqslant d \leqslant \frac{9}{2}$

Võ Sĩ Cua





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh