Đến nội dung

Hình ảnh

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM chứng minh bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
princevn154

princevn154

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

1. Cho a,b,c>0. Chứng minh

a) $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{4c^{2}}{a}\geq a + 3b$

b) $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{16c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{9}(64c-a-b)$

2. Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình: $x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}$

3. Cho $x,y\epsilon \mathbb{N}$, CMR: $x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$

4. CMR với mọi $x\epsilon \mathbb{R}$, ta có $\sqrt{5+5x^{2}}+\left | 2x-x \right |\geq 4$

Mong các pro giải giúp em với ạ. Em xin cảm ơn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princevn154: 19-11-2018 - 23:31


#2
Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

a) Ta có:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{4c^2}{a}=\frac{a^2}{b}+\left(\frac{b^2}{2c}+\frac{b^2}{2c}+\frac{4c^2}{a}+a\right)-a \geq \frac{a^2}{b}+4b-a \geq 2a+3b-a=a+3b$


"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#3
Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

b)Ta có:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{4}{9}(b+c)-\frac{4}{9}(b+c)\geq \frac{4}{3}a-\frac{4}{9}(b+c)$

$\frac{b^2}{c+a}+\frac{4}{9}(a+c)-\frac{4}{9}(a+c)\geq \frac{4}{3}b-\frac{4}{9}(a+c)$

$\frac{16c^2}{b+a}+(b+a)-(b+a)\geq 8c-(b+a)$

công vế ta thu được đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 20-11-2018 - 12:01

"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#4
Hero Crab

Hero Crab

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Bài 2: Đk $x\geqslant2 ; y\geqslant3; z\geqslant5$

Áp dụng bđt AM-GM

$x-2+1\geqslant 2 \sqrt{x-2}$

$y-3+4\geqslant 4 \sqrt{y-3}$
$z-5+9\geqslant 6 \sqrt{z-5}$
Cộng theo vế ta có $x+y+z+4 \geqslant 2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}$
Dấu "=" xảy ra khi x=3, y=7; z=14

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Crab: 22-11-2018 - 19:04

Võ Sĩ Cua


#5
Hero Crab

Hero Crab

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

4) Chỗ kia phải là $\left | 2-x \right |$ chứ bạn nhỉ ?

Ta có : 

$\sqrt{5+5x^{2}}\geqslant \left | x+2 \right |$

$\Leftrightarrow 5+5x^{2}\geqslant x^{2}+4x+4$
$\Leftrightarrow 4x^{2}-4x+1 \geqslant 0$
$\Leftrightarrow \left ( 2x+1 \right )^{2}\geqslant 0$(Đúng $\forall x\in\mathbb{R}$)
$\Rightarrow \sqrt{5+5x^{2}}+\left | 2-x \right |\geqslant \left | x+2 \right |+\left | 2-x \right |\geqslant \left | 4 \right |=4$ (ĐPCM)
Dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{1}{2}$

Võ Sĩ Cua


#6
Hero Crab

Hero Crab

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Bài 3) Mình nhớ gt phải có cả $x^{2}+y^{2}=1$ chứ bạn nhỉ ?

Nếu vậy mình xin giải bài toán như sau

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có

$x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\leqslant \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x+y+2 \right )}=\sqrt{x+y+2}$

Ta có:

$\left ( x+y \right )^{2}\leqslant 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )$

$\Leftrightarrow x^{2}-2xy+y^{2}\geqslant 0$
$\Leftrightarrow \left ( x-y \right )^{2}\geqslant 0$ (Đúng)
$\Rightarrow x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\leqslant \sqrt{x+y+2}\leqslant\sqrt{\sqrt{2\left ( x^{2}+y^{2} \right )}+2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hero Crab: 22-11-2018 - 19:46

Võ Sĩ Cua





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh