Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Nhà Toán học cuối cùng từ Göttingen của Hilbert: Saunders Maclane, nhà triết học của Toán học.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1523 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 20-11-2018 - 22:42

Đóng tạm cái Topic ở đây, từ thứ $5$ sẽ đăng một Series $12$ phần về "Nhà Toán học cuối cùng từ Göttingen của Hilbert: Saunders Maclane, nhà triết học của Toán học."

 

Giới thiệu:

 

- Saunders Maclane, cùng với Samuel Eilenberg là hai người sáng lập ra lý thuyết phạm trù, một ví dụ nữa là các không gian Eilenberg-Maclane $K(G,n)$'s

- Doctoral advisor của Maclane là Hermann Weyl.

- Ông có các học trò rất nổi tiếng như Roger Lyndon, Irving Kaplansky, David Eisenbud, John Thompson ...

- Một cuốn sách nổi tiếng của ông là Category for working mathematician. - ( mình chưa bao giờ học phạm trù ở cuốn này ).

 

:D Mình nghĩ đôi khi lịch sử là cái rất hay để kích thích việc học Toán. Hy vọng mình sẽ làm series này đều đặn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 20-11-2018 - 23:00

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 chemphymath

chemphymath

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 22-11-2018 - 00:23

Để bắt đầu, mình sẽ dịch phần tóm tắt và mở đầu của tài liệu trên.

Tài liệu này hơi thiên về triết học vì tác giả Colin McClarty nghiên cứu về triết học của toán học. Về sau nếu có chỗ nào thiên về triết học quá mà xa rời toán học thì mình sẽ lược bỏ.

 

TÓM TẮT

Khi Saunders Mac Lane theo học bằng Tiến sĩ Triết học (D. Phil.) ở Gottingen, ông nghe bài giảng hằng tuần của David Hilbert về triết học, nói chuyện về triết học với Hermann Weyl, và nghiên cứu nó cùng với Moritz Geiger. Triết học của họ và Đại số của Emmy Noether đều là khởi nguồn cho các ý tưởng của ông về lý thuyết phạm trù, thứ mà giờ đây đã trở thành lý thuyết để toán học ngày nay làm việc trên các cấu trúc. Cống hiến của ông đã hoàn toàn khẳng định rằng một cách hệ thống hoá toán học trên bình diện rộng là con đường hiệu quả nhất để khám phá ra các kết quả quan trọng - trong khi ông coi câu hỏi về liệu một kết quả toán học là quan trọng hay không là một câu hỏi triết học không thể bỏ qua. Tư tưởng của ông dựa trên những ý tưởng về chân lý và sự tồn tại [trong toán học] mà ông đã có từ khi ở Gottingen. Sự nghiệp của ông là một ví dụ thực tiễn cho việc liên hệ chủ nghĩa tự nhiên trong triết học của toán học với triết học sinh ra một cách tự nhiên từ toán học.

BỐ CỤC

  1. Mở đầu (Introduction)
  2. Cấu trúc và Cấu xạ (Structures and Morphisms)
  3. Varieties of Structuralism
  4. Gottingen
  5. Logic: Mac Lane’s Dissertation
  6. Emmy Noether
  7. Natural Transformations
  8. Grothendieck: Toposes and Universes
  9. Lawvere and Foundations
  10. Truth and Existence
  11. Naturalism
  12. Austere Forms of Beauty

 

MỞ ĐẦU

Khoa học gần với chủ nghĩa duy tâm ở chỗ thực tại khách quan không được giả định trước mà đặt ra như một vấn đề.

(Weyl [1927], p.83)

Các mô hình được toán học hoá, các mô hình của chuyển động, quan hệ, v.v là cơ sở của thực tại vật lý, và có thực [đối với các khoa học tự nhiên]. Còn trong toán học chúng hiểu theo một cách khác, cùng các mô hình toán học đó v.v không có thật mà là trường hợp riêng của một thế giới trừu tượng.

(Geiger [1930], p. 87)

 

Khi mà nhóm Bourbaki muốn đặt nền móng cho bộ bách khoa thư Elements of Mathematics (Cơ sở của Toán học) dựa trên một ý tưởng thích hợp về cấu trúc, họ đã chú ý đến một nhà đại số và logic ở Gottingen, một người mà cũng nghiên cứu về triết học [của toán học]:

Như mọi người đã biết, người đồng nghiệp Mac Lane đáng kính của tôi tin rằng mọi khái niệm về cấu trúc cần phải gắn liền với một khái niệm tương ứng về đồng cấu [ánh xạ bảo toàn cấu trúc], sao cho với mỗi thông tin về cấu trúc nó chỉ ra điều gì thay đổi một cách thuận biến hay nghịch biến […] Các bạn nghĩ chúng ta có thể thu được điều gì từ cách xem xét trên? (Andre Weil gửi cho Claude Chevalley, Oct. 15, 1951, trong Corry [1996], p. 380).

Ý tưởng của Mac Lane không phải một tiên đề, cũng không phải một khái niệm hay định lý. Nó chưa được chấp nhận rộng rãi vào thời điểm đó và ngay cả Weil cũng đã hiểu sai về nó, như chúng ta sẽ thấy. Dưới góc độ toán học, nó là một sự tổng quát hoá lớn lao từ những công trình Mac Lane cộng tác với Samuel Eilenberg về topo và đại số, dưới sự ảnh hưởng của Emmy Noether. Từ góc độ triết học, nó phản ánh mối quan tâm của Mac Lane về nền tảng của toán học và những nghiên cứu của ông cùng với Hermann Weyl và Moritz Geiger. Nói rộng hơn thì nó thể hiện quan niệm của Mac Lane về tự nhiên và ý nghĩa của toán học.

Weil đã không đồng tình với tư tưởng của Mac Lane mặc dù những tư tưởng ấy, cũng như ông, đều phát triển từ nền khoa học Đức giàu truyền thống. Weil thừa hưởng những truyền thống đó từ Hilbert và Bertrand Russell. Do [những ảnh hưởng] đó mà Weil xem toán học chỉ như công cụ và mang tính hình thức, bỏ qua ý nghĩa triết học của nó. Alexander Grothendieck, trái lại, cho rằng cách tiếp cận của Weil là ‘rất hời hợt, một cách tư duy rất “bề mặt”, “hạn hẹp” về toán học’ ([1987], p.970) .

Luận án1 của Mac Lane viết về logic, chứng minh hình thức và tính thực hành của chúng. Ông và Eilenberg thảo luận về các câu hỏi về sự tồn tại2 [của các khái niệm hay đối tượng] trong toán học, mà ngày nay vẫn còn gây tranh cãi (Eilenberg and Mac Lane [1945], p. 246). Toán học và triết học luôn gắn liền với nhau trong suốt sự nghiệp của ông và chúng được kết tinh trong lý thuyết phạm trù mà ông phát triển. Ông so sánh tính tự nhiên trong triết học của toán học với triết học sinh ra một cách tự nhiên từ toán học. Mac Lane chịu ảnh hưởng từ toán học và triết học của Weyl. Noether cũng để lại dấu ấn lên tư tưởng của ông bằng toán học của mình. Ông cũng gây ra ảnh hưởng đáng chú ý lên Grothendieck và William Lawvere. Lawvere và Mac Lane trao đổi về triết học cũng nhiều như trao đổi các ý tưởng toán học, còn ảnh hưởng của Mac Lane tới Grothendieck là những điểm tương đồng về mặt toán học.

Mỗi giai đoạn trong sự nghiệp của ông đều khiến ông phải đối diện với ‘những câu hỏi đầy tính triết học về chân lý và vẻ đẹp của Toán học’ (Mac Lane [1986], p.409). Ông tìm thấy trong triết học những niềm tin định hướng cho các nghiên cứu của mình. Lý thuyết phạm trù mà ông phát triển vì sự cần thiết của topo và đại số, giờ đây là một phần của các sách giáo trình và là nền tảng của toán học.

 

Trích dẫn trong bài:

  1. Weyl, H. [1927]: Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, Munich: R. Oldenbourg.
  2. Geiger, M. [1930]: Die Wirklichkeit der Wissenschaften und die Metaphysik, Bonn: F. Cohen.
  3. Corry, L. [1996]: Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, Basel: Birkh¨auser.
  4. Grothendieck, A. [1985–87]: R´ecoltes et Semailles, Montpellier: Universit´e des Sciences et Techniques du Languedoc.
  5. Eilenberg, S. and Mac Lane, S. [1945]: ‘General Theory of Natural Equivalences’, Transactions of the American Mathematical Society, 58, pp. 231–94.
  6. Mac Lane, S. [1986]: Mathematics: Form and Function, New York: Springer-Verlag.

Một số nơi tham khảo để hiểu thêm về các khái niệm triết học của toán học được sử dụng:

  1. https://en.wikipedia..._of_mathematics
  2. https://hsm.stackexc...eviated-proving

 

1 Luận án của Mac Lane viết về sự hình thức hoá chứng minh toán học mà vẫn thu được cùng một lượng thông tin. Cụ thể ông quan tâm tới thứ gọi là Abbreviated Proof. Đây có vẻ là một khái niệm thuộc về logic và foundation of mathematics. Hơn nữa công trình này của Mac Lane không có nhiều ảnh hưởng; thậm chí những người hướng dẫn của Mac Lane là Weyl và Bernays không cho rằng nó hàm chứa nhiều toán học.

 

2 “mathematical existence”

Có lẽ khái niệm này muốn đề cập tới sự có hay không tồn tại các đối tượng toán học. Chẳng hạn một nhóm liệu có tồn tại thực sự không, nếu nó chỉ được định nghĩa một cách tiên đề? Hay tập số thực, một tập số vượt ra khỏi tập số tự nhiên quen thuộc với chúng ta và được xây dựng thông qua lát cắt Dedekind hoặc phương pháp tiên đề, liệu có tồn tại thực sự? Các trường phái triết học của toán học phần nào mong muốn trả lời câu hỏi này. Chẳng hạn đứng về phía methodology thì những khái niệm này được sử dụng là do tính hữu dụng của chúng.



#3 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 531 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-11-2018 - 23:52

Anh mới chỉ đọc đoạn đầu của chú mà anh thấy khó hiểu và rất nhiều mâu thuẫn nên anh phải check lại bản tiếng anh. Chú dịch được nhiều thứ, như vậy là tốt và đáng khích lệ, nhưng cái này không dễ dịch nên anh nghĩ cần xem xét cẩn thận và sửa lại trước khi viết tiếp. Nhiều chỗ sai nhỏ của chú làm anh hiểu sai nghiêm trọng nếu anh không xem lại bản gốc, dù sao cũng cần cẩn thận vì chú đăng lên trang chủ và nhiều người đọc. Anh comt ở đây, ngoài ra còn nhiều cái vụn vặt khác. Mong chú sẽ có những bản dịch tốt hơn:
Như ông (Weil gửi cho Chevalley nên để số ít) biết, người đồng nghiệp đáng kính Mac Lane của tôi quả quyết rằng (Maclane nói với Weil bằng miệng, maintain là reporting verb) mọi khái niệm cấu trúc cần mang theo nó một khái niệm đồng cấu, gồm việc chỉ ra, với mỗi phần của dữ kiện tạo thành cấu trúc đó, những phần nào hành xử thuận biến và những phần nào hành xử nghịch biến. Ông nghĩ chúng ta thu được gì từ kiểu xem xét này? (Đoạn này anh đoán là tiếng Pháp, có thể nhìn vào các dấu phẩy trong bản gốc. Làm như thế sẽ giúp đoạn văn dễ hiểu hơn và ít nhất bản tiếng anh đã tôn trọng điểu này. Anh không nghĩ chú bỏ dấu phẩy như thế giúp ngước đọc hiểu hơn, ít nhất là anh).

Ý tưởng của Mac lane không phải một tiên đề hay một định nghĩa hay một định lý. Nó đã chưa được chấp nhận rộng rãi và thực ra Weil đã không hiểu nó một cách chính xác, như ta sẽ thấy. Về mặt toán học, nó là một sự suy tưởng (extrapolation là kiểu suy nghĩ bằng việc giả định và bỏ qua nhiều chi tiết để thu được kết luận, tất nhiên dịch suy tưởng cũng không chính xác lắm, nhưng chắc chắn nó không phải tổng quát hóa) lớn lao từ việc cộng tác của Mac Lane với Samuel Eilenberg về tô pô và đại số, phản ánh sự ảnh hưởng của Emmy Noether. Về mặt triết học, nó phản ánh mối quan tâm của Mac Lane về cơ sở (foundations có "s", ở đây đang nói chung vì đang nói theo khía cạnh triết học, không phải toán học) và việc học của ông với Hermann Weyl và Moritz Greiger. Trên quy mô lớn nhất, nó diễn tả cái nhìn của Maclane về bản chất (nature dịch là bản chất thì dễ hiểu hơn) và giá trị của toán học.

Weil đã không quan tâm tới triết học của Mac Lane mặc dù triết học đó, giống như triết học của ông, trưởng thành từ phong cách khoa học Đức (the tradition, không phải traditions nên a nghiêng dịch thành phong cách hơn). Weil đã thấy phong cách này ở Hilbert và Bertrand Russell. Ông lượm từ nó một cách nhìn toán học hình thức hoặc như công cụ, mà ông xem nó như việc tránh bất cứ lập trường triết học nào...
(Cả đoạn này chú làm anh tưởng trường phát Hilbert gây ảnh ảnh hưởng như thế lên Weil (mâu thuẫn ngay với tiêu đề của bài), trong khi ý của đoạn văn là Weil không thực sự học được gì từ trường phái đó).

#4 chemphymath

chemphymath

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 25-11-2018 - 20:46

Anh mới chỉ đọc đoạn đầu của chú mà anh thấy khó hiểu và rất nhiều mâu thuẫn nên anh phải check lại bản tiếng anh. Chú dịch được nhiều thứ, như vậy là tốt và đáng khích lệ, nhưng cái này không dễ dịch nên anh nghĩ cần xem xét cẩn thận và sửa lại trước khi viết tiếp. Nhiều chỗ sai nhỏ của chú làm anh hiểu sai nghiêm trọng nếu anh không xem lại bản gốc, dù sao cũng cần cẩn thận vì chú đăng lên trang chủ và nhiều người đọc. Anh comt ở đây, ngoài ra còn nhiều cái vụn vặt khác. Mong chú sẽ có những bản dịch tốt hơn:
Như ông (Weil gửi cho Chevalley nên để số ít) biết, người đồng nghiệp đáng kính Mac Lane của tôi quả quyết rằng (Maclane nói với Weil bằng miệng, maintain là reporting verb) mọi khái niệm cấu trúc cần mang theo nó một khái niệm đồng cấu, gồm việc chỉ ra, với mỗi phần của dữ kiện tạo thành cấu trúc đó, những phần nào hành xử thuận biến và những phần nào hành xử nghịch biến. Ông nghĩ chúng ta thu được gì từ kiểu xem xét này? (Đoạn này anh đoán là tiếng Pháp, có thể nhìn vào các dấu phẩy trong bản gốc. Làm như thế sẽ giúp đoạn văn dễ hiểu hơn và ít nhất bản tiếng anh đã tôn trọng điểu này. Anh không nghĩ chú bỏ dấu phẩy như thế giúp ngước đọc hiểu hơn, ít nhất là anh).

Ý tưởng của Mac lane không phải một tiên đề hay một định nghĩa hay một định lý. Nó đã chưa được chấp nhận rộng rãi và thực ra Weil đã không hiểu nó một cách chính xác, như ta sẽ thấy. Về mặt toán học, nó là một sự suy tưởng (extrapolation là kiểu suy nghĩ bằng việc giả định và bỏ qua nhiều chi tiết để thu được kết luận, tất nhiên dịch suy tưởng cũng không chính xác lắm, nhưng chắc chắn nó không phải tổng quát hóa) lớn lao từ việc cộng tác của Mac Lane với Samuel Eilenberg về tô pô và đại số, phản ánh sự ảnh hưởng của Emmy Noether. Về mặt triết học, nó phản ánh mối quan tâm của Mac Lane về cơ sở (foundations có "s", ở đây đang nói chung vì đang nói theo khía cạnh triết học, không phải toán học) và việc học của ông với Hermann Weyl và Moritz Greiger. Trên quy mô lớn nhất, nó diễn tả cái nhìn của Maclane về bản chất (nature dịch là bản chất thì dễ hiểu hơn) và giá trị của toán học.

Weil đã không quan tâm tới triết học của Mac Lane mặc dù triết học đó, giống như triết học của ông, trưởng thành từ phong cách khoa học Đức (the tradition, không phải traditions nên a nghiêng dịch thành phong cách hơn). Weil đã thấy phong cách này ở Hilbert và Bertrand Russell. Ông lượm từ nó một cách nhìn toán học hình thức hoặc như công cụ, mà ông xem nó như việc tránh bất cứ lập trường triết học nào...
(Cả đoạn này chú làm anh tưởng trường phát Hilbert gây ảnh ảnh hưởng như thế lên Weil (mâu thuẫn ngay với tiêu đề của bài), trong khi ý của đoạn văn là Weil không thực sự học được gì từ trường phái đó).

Cảm ơn anh. Em sẽ dịch cẩn thận hơn từ sau. Chỗ "extrapolation" em không nghĩ ra từ suy tưởng, mà em dịch như thế để tránh từ "ngoại suy" dễ gây khó hiểu. Còn đoạn nói về Weil thì lúc dịch em cũng không chắc chắn lắm, vì em không hiểu ý tác giả.



#5 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1523 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 27-11-2018 - 17:30

Cấu trúc và cấu xạ 

 

Weil đã hiểu nhầm Mac Lane và đánh giá thấp phương pháp của lý thuyết tập hợp. Weil giả sử rằng nếu các cấu trúc là các tập hợp thì các cấu xạ bắt buộc phải là các ánh xạ. Có hàng tá ví dụ thỏa mãn mô hình này. Một nhóm $G$ là một tập hợp với phép nhân và một cấu xạ $f: G \to H$ là một ánh xạ bảo toàn phép nhân. Nói cách khác thì phép nhân là thuận biến với các cấu xạ nhóm. Một không gian topo $S$ là một tập hợp được trang bị một số tập mở và cấu xạ là các hàm liên tục - ánh xạ liên tục, nghĩa là ánh xạ $f: S \to T$ mà dội ngược lại các tập mở. Nghịch ảnh $f^{-1}(U)$ của mọi tập mở của $T$ là mở trong $S$. Tập mở là phản biến với các ánh xạ liên tục. Tuy nhiên Mac Lane đã sớm biết rằng cấu xạ phải mang tính tổng quát hơn trong thực hành.

 

Đầu tiên, tồn tại các biến đổi trau chuốt hơn các ánh xạ như các hàm đo được, xuất hiên nổi bật ở cơ học lượng tử. Một cuốn giáo trình đầu tiên sẽ định nghĩa một hàm đo được là một hàm dội lại các tập đo được một cách giống như các ánh xạ liên tục và các tập mở. Nhưng lý thuyết vẫn dựa trên một thực tế mà các nhà triết học ngày nay vẫn nhắc tới:"không gian $L^{2}$ của các hàm bình phương khả tích từ $\mathbb{R}$ vào $\mathbb{C}$ [ tích phân như một tích vô hướng ] là một ví dụ điển hình của các không gian Hilbert (Hellman[$2005$], p.$536$). Kết luận này cần việc "hai hàm $f$ và $g$ của lớp các hàm này được đồng nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau hầu khắp nơi (Stone[$1932$], p.$23$). Điều này suy ra $f$ và $g$ hầu như bằng nhau trừ ra một tập có độ đo không. Các kĩ thuật về không gian Hilbert là trọng tâm. Khái niệm về sự đồng nhất các hàm này là hoàn toàn tự nhiên trong các giáo trình. Rất nhiều nhà toán học đã nghĩ các hàm đo được một cách tự nhiên như vậy - điều mà những nhà lý thuyết tập hợp sẽ gọi là lớp tương đương của các hàm. Sách của Stone tuân theo điều này và Mac Lane đưa nó vào năm $1936$.

 

Hình học đại số của Weil đã đưa ra các ví dụ kĩ lưỡng hơn rất nhiều. Ông ấy đã giới thiệu một cấu xạ $f: X \to Y$ từ một không gian $X$ vào một không gian $Y$ như một "danh sách" các cấu xạ vành tương thích $f^{*}_{i,j}: R_{Y,j} \to R_{X,i}$ theo chiều ngược lại, từ vành tọa độ $R_{Y,j}$ trên các bản vá của $Y$ đến vành tọa độ $R_{X,i}$ trên các bản vá tương ứng của $X$. Thật sự, một cấu xạ không gian đại số là một lớp tương đương các "danh sách" như vậy, thông qua một quan hệ tương đương hợp lý. Các trường hợp đặc biệt đã có từ nhiều thời kì (Weil[$1946$]). Một giáo trình gần đây chú thích rằng các cấu xạ trong hình học đại số không là các ánh xạ và nói "sinh viên nào không tán thành thì nên từ bỏ ngay và thay vào đó học một khóa lý thuyết phạm trù" (Reid[$1990$], p.4).

 

Hơn nữa, Eilenberg và Mac Lane sử dụng từ "cấu xạ" thậm chí không dựa trên ý tưởng về các ánh xạ. Ví dụ, các số thực lập thành một phạm trù với cấu xạ là các bất đẳng thức - quan hệ thứ tự. Vì vậy $\sqrt{3} \leq \pi$ là một cấu xạ từ $\sqrt{3}$ vào $\pi$ mặc dù nó không có chức năng gì (Eilenberg and Mac Lane [$1945$], pp.$272$ff). 

 

Tất cả các cấu xạ mà không là ánh xạ được xử lý dễ dàng trong lý thuyết tập hợp. Nhưng chúng không là các ánh xạ. Ý tưởng của Weil cần một số lượng bất cả thi các mở rộng. Ta phải xử lý các hàm riêng ( không biết partial function dịch là gì nhỉ?), lớp tương đương của các hàm riêng, một "danh sách"-tập hợp các hàm với chiều bị đảo, ... Điều này là hoàn toàn không thể xảy ra. Không có một giới hạn nào có thể gán cho các thiết bị như kiểu các cấu xạ trong thực hành.

 

Xem xét ý tưởng ngược lại, Eilenberg và Mac Lane gọi mọi thứ là một cấu xạ, bất kể nó là ánh xạ hoặc được xây dựng từ ánh xạ hoặc không liên quan đến ánh xạ, nếu như nó thỏa mãn các tiên đề phạm trù sau:

 

- Mỗi cấu xạ có một vật $A$ gọi là miền và một vật $B$ gọi là đối miền và viết $f: A \to B$.

 

- Cấu xạ $f: A \to B$ và $g: B \to C$ chung một đối miền và miền có thể lấy hợp $gf: A \to C$. Phép lấy hợp là kết hợp nên $h(fg)=(hf)g$ với mọi $h: C \to D$. 

 

- Mọi vật $A$ có một cấu xạ đồng nhất $1_{A}: A \to A$ thỏa mãn $f1_{A}=1_{B}f=f \forall f: A \to B$.

 

Phạm trù $\mathbb{Set}$ có vật là các tập hợp và ánh xạ theo nghĩa thông thường $f: A \to B$ là các cấu xạ. Các đa tạp đại số của Weil là các vật của phạm trù với các cấu xạ tương đối phức tạp. Các số thực trong $\mathbb{R}$ lập thành một phạm trù với vật là các số và cấu xạ là các bất đẳng thức $x \leq y$. Cấu xạ đồng nhất $x \leq x$ và phép hợp $x \leq y, y \leq z \Rightarrow x \leq z$. Nhiều ví dụ và giải thích có trong Mac Lane ([$1986$], pp.$386-9$).  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 27-11-2018 - 17:30

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh