Chủ đề này có 8 trả lời

[luuvanthai]

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR: $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

[DOTOANNANG]

$\lceil\,\,'\text{AM-GM}'\,\,\rfloor$ 

 

$a- \frac{a}{ab+ 1}= \frac{ba^{\,2}}{ab+ 1}\geqq \frac{ba^{\,2}}{2\,\sqrt{ab}}= \frac{a\,\sqrt{ab}}{2}$

 

Tương tự và ta có bất đẳng thức mới cần chứng minh:

 

$\sum\limits_{cyc}\frac{a}{ab+ 1}\geqq \frac{3}{2}\,\,\Leftrightarrow \,\,\frac{a\,\sqrt{ab}+ b\,\sqrt{bc}+ c\,\sqrt{ca}}{2}\leqq a+ b+ c- \frac{3}{2}= \frac{1}{2}\,\frac{\left ( a+ b+ c \right )^{2}}{3}$

 

Đây là bất đẳng thức quen thuộc của $\lceil$ Vasile Cirtoaje $\rfloor$ , : 

 

$\lceil$ https://diendantoanh...11338 $\rfloor$

[DOTOANNANG]

$\lceil\,\,'\text{AM-GM}'\,\,\rfloor$ 

 

$a- \frac{a}{ab+ 1}= \frac{ba^{\,2}}{ab+ 1}\geqq \frac{ba^{\,2}}{2\,\sqrt{ab}}= \frac{a\,\sqrt{ab}}{2}$

 

Tương tự và ta có bất đẳng thức mới cần chứng minh:

 

$\sum\limits_{cyc}\frac{a}{ab+ 1}\geqq \frac{3}{2}\,\,\Leftrightarrow \,\,\frac{a\,\sqrt{ab}+ b\,\sqrt{bc}+ c\,\sqrt{ca}}{2}\leqq a+ b+ c- \frac{3}{2}= \frac{1}{2}\,\frac{\left ( a+ b+ c \right )^{2}}{3}$

 

Đây là bất đẳng thức quen thuộc của $\lceil$ Vasile Cirtoaje $\rfloor$ , : 

 

$\lceil$ https://diendantoanh...11338 $\rfloor$

Với $a+ b+ c= 3,\,a,\,b,\,c> 0$ thì: $4\,ab+ 2\,c\left ( a+ b+ c \right )\leqq \left ( a+ b+ c \right )^{2}+ c^{2}\Leftarrow \left ( a- b \right )^{2}\geqq 0$. Do đó:

 

$$\frac{1}{4}\,\frac{a}{ab+ 1}\geqq \frac{a}{\left ( 3- c \right )^{2}+ 4}$$

 

$\lceil$ Chứng minh: $\rfloor$

 

$$\frac{3}{8}\geqq \frac{a}{\left ( 3- c \right )^{2}+ 4}+ \frac{b}{\left ( 3- a \right )^{2}+ 4}+ \frac{c}{\left ( 3- b \right )^{2}+ 4}$$

[DOTOANNANG]

$\lceil\,\,'\text{AM-GM}'\,\,\rfloor$ 

 

$a- \frac{a}{ab+ 1}= \frac{ba^{\,2}}{ab+ 1}\geqq \frac{ba^{\,2}}{2\,\sqrt{ab}}= \frac{a\,\sqrt{ab}}{2}$

 

Tương tự và ta có bất đẳng thức mới cần chứng minh:

 

$\sum\limits_{cyc}\frac{a}{ab+ 1}\geqq \frac{3}{2}\,\,\Leftrightarrow \,\,\frac{a\,\sqrt{ab}+ b\,\sqrt{bc}+ c\,\sqrt{ca}}{2}\leqq a+ b+ c- \frac{3}{2}= \frac{1}{2}\,\frac{\left ( a+ b+ c \right )^{2}}{3}$

 

Đây là bất đẳng thức quen thuộc của $\lceil$ Vasile Cirtoaje $\rfloor$ , : 

 

$\lceil$ https://diendantoanh...11338 $\rfloor$

 

$$\frac{a}{ab+ t}+ \frac{b}{bc+ t}+ \frac{c}{ca+ t}\geqq \frac{3}{1+ t}$$

 

 

Với $a+ b+ c= 3,\,a,\,b,\,c> 0$ thì: $4\,ab+ 2\,c\left ( a+ b+ c \right )\leqq \left ( a+ b+ c \right )^{2}+ c^{2}\Leftarrow \left ( a- b \right )^{2}\geqq 0$. Do đó:

 

$$\frac{1}{4}\,\frac{a}{ab+ 1}\geqq \frac{a}{\left ( 3- c \right )^{2}+ 4}$$

 

$\lceil$ Chứng minh: $\rfloor$

 

$$\frac{3}{8}\geqq \frac{a}{\left ( 3- c \right )^{2}+ 4}+ \frac{b}{\left ( 3- a \right )^{2}+ 4}+ \frac{c}{\left ( 3- b \right )^{2}+ 4}$$

$\lceil$ 'Weaker' $\rfloor$

$$\frac{1}{4}\,\sum\limits_{cyc}\frac{a}{ab+ 1} \geqq \sum\limits_{cyc} \frac{a}{\left ( 3- c \right )^{2}+ 4}$$

[luuvanthai]

$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}=\frac{a^{2}}{a^{2}b+a}+\frac{b^{2}}{b^{2}c+b}+\frac{c^{2}}{c^{2}a+c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+a+b+c} \geq \frac{3^{2}}{3+3}=\frac{3}{2}$

[luuvanthai]

$\lceil\,\,'\text{AM-GM}'\,\,\rfloor$ 

 

$a- \frac{a}{ab+ 1}= \frac{ba^{\,2}}{ab+ 1}\geqq \frac{ba^{\,2}}{2\,\sqrt{ab}}= \frac{a\,\sqrt{ab}}{2}$

 

Tương tự và ta có bất đẳng thức mới cần chứng minh:

 

$\sum\limits_{cyc}\frac{a}{ab+ 1}\geqq \frac{3}{2}\,\,\Leftrightarrow \,\,\frac{a\,\sqrt{ab}+ b\,\sqrt{bc}+ c\,\sqrt{ca}}{2}\leqq a+ b+ c- \frac{3}{2}= \frac{1}{2}\,\frac{\left ( a+ b+ c \right )^{2}}{3}$

 

Đây là bất đẳng thức quen thuộc của $\lceil$ Vasile Cirtoaje $\rfloor$ , : 

 

$\lceil$ https://diendantoanh...11338 $\rfloor$

Cho e hỏi nếu GT đổi thành abc=1 thì làm ntn ạ?

[DOTOANNANG]

Thay $a,\,b,\,c= \frac{x}{y},\,\frac{y}{z},\,\frac{z}{x}$, ta được bất đẳng thức $\lceil$ Nesbitt $\rfloor$ :

 

$$\frac{zx}{xy+ yz}+ \frac{xy}{yz+ zx}+ \frac{yz}{zx+ xy}\geqq \frac{3}{2}$$

[DOTOANNANG]

$$\frac{a}{ab+ t}+ \frac{b}{bc+ t}+ \frac{c}{ca+ t}\geqq \frac{3}{1+ t}$$

 

$0< t\leqq 1$

[DOTOANNANG]

$0< t\leqq 1$

$$0< t\leqq \frac{27}{17}$$

 

$\lceil$ Vasile Cirtoaje $\rfloor$