Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Cho a,b,c dương. CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^{3}$



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Xét $\frac{b+ c}{2}\geqq a\,\,\Leftrightarrow \,\,a^{3}+ b^{3}+ c^{3}- 3\,abc$ $= 2\left ( \frac{b+ c}{2}- a \right )^{3}+ \frac{3}{2}\left ( \frac{b+ c}{2}- a \right )\left ( b- c \right )^{2}+ 3\,a\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- ab- bc- ca \right )\geqq 2\left ( \frac{b+ c}{2}- a \right )^{3}$

 

Xét $\frac{b+ c}{2}\leqq a$ , đặt $f\left ( a,\,b,\,c \right )= a^{3}+ b^{3}+ c^{3}- 3\,abc- 2\left ( \frac{b+ c}{2}- a \right )^{3}$ , từ đó, ta được: $f\left ( \frac{b+ c}{2},\,b,\,c \right )= b^{3}+ c^{3}+ \frac{1}{8}\left ( b+ c \right )\left [ \left ( b+ c \right )^{2}- 12\,bc \right ]\geqq 0$

 

$f\left ( a,\,b,\,c \right )$ $= f\left ( \frac{b+ c}{2},\,b,\,c \right )+ \frac{1}{4}\left ( a- \frac{b+ c}{2} \right )\left [ 3\left ( b- c \right )^{2}+ \left ( a- \frac{b+ c}{2} \right )\left ( a+ b+ c \right ) \right ]\geqq f\left ( \frac{b+ c}{2},\,b,\,c \right )\geqq 0$

 

Spoiler


#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Xét $\frac{b+ c}{2}\geqq a\,\,\Leftrightarrow \,\,a^{3}+ b^{3}+ c^{3}- 3\,abc$ $= 2\left ( \frac{b+ c}{2}- a \right )^{3}+ \frac{3}{2}\left ( \frac{b+ c}{2}- a \right )\left ( b- c \right )^{2}+ 3\,a\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2}- ab- bc- ca \right )\geqq 2\left ( \frac{b+ c}{2}- a \right )^{3}$

 

Xét $\frac{b+ c}{2}\leqq a$ , đặt $f\left ( a,\,b,\,c \right )= a^{3}+ b^{3}+ c^{3}- 3\,abc- 2\left ( \frac{b+ c}{2}- a \right )^{3}$ , từ đó, ta được: $f\left ( \frac{b+ c}{2},\,b,\,c \right )= b^{3}+ c^{3}+ \frac{1}{8}\left ( b+ c \right )\left [ \left ( b+ c \right )^{2}- 12\,bc \right ]\geqq 0$

 

$f\left ( a,\,b,\,c \right )$ $= f\left ( \frac{b+ c}{2},\,b,\,c \right )+ \frac{1}{4}\left ( a- \frac{b+ c}{2} \right )\left [ 3\left ( b- c \right )^{2}+ \left ( a- \frac{b+ c}{2} \right )\left ( a+ b+ c \right ) \right ]\geqq f\left ( \frac{b+ c}{2},\,b,\,c \right )\geqq 0$

 

Spoiler

Có thể viết lại bất đẳng thức dưới dạng:

 

$$2\left ( a+ b+ c \right )\left [ \left ( a- b \right )^{2}+ \left ( b- c \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2} \right ]\geqq \left ( b+ c- 2\,a \right )^{3}$$

 

Chỉ cần tính đến trường hợp $b+ c\geqq 2\,a$ là đủ! Vì $a+ b+ c\geqq b+ c- 2\,a,\,2\left [ \left ( b- a \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2}+ \left ( b- c \right )^{2} \right ]\geqq \left ( b- a+ c- a \right )^{2}= \left ( b+ c- 2\,a \right )^{2}$ nên ta có điều phải chứng minh!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 24-11-2018 - 18:54


#4
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Có thể viết lại bất đẳng thức dưới dạng:

 

$$2\left ( a+ b+ c \right )\left [ \left ( a- b \right )^{2}+ \left ( b- c \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2} \right ]\geqq \left ( b+ c- 2\,a \right )^{3}$$

 

Chỉ cần tính đến trường hợp $b+ c\geqq 2\,a$ là đủ! Vì $a+ b+ c\geqq b+ c- 2\,a,\,2\left [ \left ( b- a \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2}+ \left ( a- b \right )^{2} \right ]\geqq \left ( b- a+ b- c \right )^{2}= \left ( b+ c- 2\,a \right )^{2}$ nên ta có điều phải chứng minh!

có cách nào dễ hơn k ạ? e mới học lớp 9



#5
Hero Crab

Hero Crab

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Ta có: a,b,c>0 nên theo bđt AM-GM $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geqslant 3abc$ nên $VT\geqslant 0$

Xét $b+c \leqslant 2a$ Thì ta có $VT\geqslant 0$ và $VP \leqslant 0$ nên ta có đpcm

Xét $b+c \geqslant 2a$ BĐT đã cho tương đương với 

$4\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{3}$

$\Leftrightarrow 2\left ( a+b+c \right )\left [ \left ( b-a \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2} +\left ( b-c \right )^{2}\right ]\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{3}$

Vì a dương và $2\left ( b-c \right )^{2}\geqslant 0$ nên ta có 

$a+b+c\geqslant b+c-2a; 2\left [ \left ( b-a \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2} +\left ( b-c \right )^{2}\right ]\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{2}+2\left ( b-c \right )^{2}\geqslant \left ( b+c-2a \right )^{2}$

Nhân vế theo vế ta có ĐPCM


Võ Sĩ Cua





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh